「歐拉線」問題丨高二數學月考題講解

歐拉於1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線，這條線被命名為歐拉線。

 

如上圖，歐拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點）的一條直線。

註：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為歐拉圓。

歐拉線在近期各學校（包括新泰一中和泰安一中）的高二考試中多次出現，題目如下圖所示。

 

本題主要考查直線的方程、直線的交點坐標與距離公式以及圓的方程。我們可以通過如下分析來解題：

首先，根據兩點確定一條直線，所以我們只需要滿足兩個心（重心、外心和垂心的其中兩個）在歐拉線上，那麼根據歐拉線定理第三個心一定也在歐拉線上。

其次，求C點坐標，可以用待定係數法設出來，有兩個未知數，因此我們只需要列出兩個線性無關方程即可解出來。

最後，具體的依據有兩條：

①因為外心是△ABC三條邊中垂線（垂直平分線）的交點，因此線段AB的中垂線一定過外心，而歐拉線方程已經給出。

因此聯立兩直線方程可以求出外心坐標設為M，再根據丨AM丨=丨BM丨=丨CM丨列出關於點C橫縱坐標的第一個方程；

②已知△ABC中三頂點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則此三角形重心坐標為（（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3）。

再利用重心也在歐拉線上列出關於點C橫縱坐標的第二個方程。

具體解題步驟如下，

設C（x，y），

由A（-4，0）和B（0,4）可得線段AB的中垂線方程為y=-x，

 

因為歐拉線方程為x-y+2=0，

所以y=-x與x-y+2=0的交點M（-1,1）為△ABC的外心，

所以MA=MC，即（x+1）²＋（y-1）²=10。

由A(-4,0),B（0,4）和C（x，y）可得△ABC的重心坐標為

，代入歐拉線方程，得x=y＋2，

代入（x+1）²＋（y-1）²=10中，

解得y=0，x=2或y=-2，x=0，

所以點C的坐標可以是（2,0）或（0.-2）。

故本題正確答案為AD。