他為愛因斯坦做註腳 | 專訪青年數學家楊詩武

2020 年 9 月 9 日，來自北京大學北京國際數學研究中心的青年數學家楊詩武助理教授獲得青橙獎。該獎項由阿里達摩院設置、獎金 100 萬元，獎勵在相關領域取得初步成就、年齡在 35 歲及以下的青年科學家。

證明陶哲軒猜想：為研究同類問題提供新視角

在楊詩武所做的一系列重要工作中，距今最近的一項成果是與同在北京大學數學科學學院工作的韋東奕助理教授聯合攻克華裔數學家陶哲軒的一個猜想，其研究論文《一維散焦半線性波動方程的漸近衰減》（Asymptotic decay for defocusing semilinear wave equations in R1+1）發表在論文預印本網站 arXiv 上。

圖 | 論文《一維散焦半線性波動方程的漸近衰減》（來源：arXiv）

圖 | 楊詩武（來源：北大官網）

楊詩武和韋東奕曾是北大校友，現在又成為北大同事。巧合的是，他們都還曾經是國際數學奧林匹克競賽（IMO）金牌得主（分別為第 45 屆和第 49 屆）。

為攻破該猜想，楊詩武前後斷斷續續花費了十年時間。他告訴 DeepTech，如果想理解該猜想，至少要學到大學高數課程偏微分方程。

圖 | 論文涉及到的方程和結論（來源：受訪者）

該猜想曾出現在陶哲軒的一篇論文中，主要涉及到一維非線性波方程解的性質，波方程可用於描述聲波、水波、電磁波以及引力波等各類波的傳播規律。實際科學問題中，大部分的波具備非線性特質，滿足某種非線性方程，比如引力波滿足愛因斯坦方程。

在時空中傳播的波有個基本的特性，那就是衰減，比如聲波，離聲源越遠，聲音聽起來越小；又比如手機信號（電磁波），離基站越遠，信號越差；即使是宇宙中發生的大事件（比如黑洞或中子星合併）製造的超強引力波，在太空中經過數千萬至數十億光年的傳播，也會變得極為微弱。

但另外還有一種波，叫做一維線性波，它在介質中傳播的過稱中是不衰減的。比如抖動一根長繩，理想狀態下，無論繩子有多長，繩子的抖動都會從一端傳到另外一端。

楊詩武所證明的猜想就與波的衰減有關。他們的研究表明，相互排斥 (散焦) 的一維波的傳播過程不同於線性波，是會衰減的。之前陶哲軒的工作是證明這種衰減在平均意義下成立，楊詩武的工作則是用不同的方法得到了更強的結論，這篇文章證明了一維散焦半線性波方程的解會一致衰減到零。

如何形象地理解這一猜想？楊詩武以夜晚用手電筒照向天空為比喻說明這一問題：手電筒光線不平行，而是往外擴散；當距離足夠遠之後，光線會變得特別弱，同時衰減的速度也會變得更慢。他要做的事情，是從理論上證明光線會一直衰減下去，直到完全的黑暗無光。

楊詩武的這項工作為進一步理解這類波方程解的漸近行為提供了基礎，同時其方法也為研究非線性波的長時間行為提供了新的視角。

談及本次解決的陶哲軒猜想，楊詩武直言，這並不是他最有代表性的研究。

用純數學的方式夯實廣義相對論

楊詩武的主要研究方向，是雙曲偏微分方程和廣義相對論。縱觀他發表過的論文，其第一個主要研究方向是非線性波動方程，他被引用最多的論文是《非均勻介質中非線性波動方程的整體解》（Global Solutions of Nonlinear Wave Equations in Time Dependent Inhomogeneous Media）。

關於該論文，楊詩武告訴 DeepTech，這個領域的經典結論是：三維時空中的非線性波動方程存在小初值整體解，這好比微風拂過水麵時只會引起小的漣漪而不會瞬間掀起大浪。

但這個經典結果有一個前提條件，即要求時空中的引力場或者曲率依時間逐步趨於零，也就是時空（或者介質）是齊次的。再次以前述水波的變化打比方：微風吹拂時只產生漣漪而不會突然掀起大浪的前提條件是，水面不能受到河岸或湖岸的幹擾。中國古代很早就觀察到一種現象：以手摩擦一個盛水的青銅盆子（又名魚洗）的外壁，盆子中的水面上有時會突然出現美麗的浪花或者噴射飛濺的水珠，這就是 「介質不齊次」 情形下水波出現共振、疊加而帶來的結果。

楊詩武的這項工作則是把這個經典結論推廣到一類非齊次介質中，也就是允許一塊永遠彎曲的區域（打破了介質齊次的前提）存在於其中。

這項工作的意義在於發展了常用來研究波方程的向量場方法，從而改進了很多現有的結果，包括上面討論的高維散焦半線性方程的長時間行為；同時為解決其他類似問題提供了強有力的工具，被廣泛應用於研究黑洞附近空間中波的傳播，以及非線性波的長時間行為上。

他的第二個主要研究對象是廣義相對論中的愛因斯坦方程，他給出了愛因斯坦測地線假設的一個完整數學證明；他還構造了愛因斯坦方程的一些特殊解，比如質量為無窮但不存在黑洞的時空，以及具有任意初始質量和任意最終質量（但小於初始質量）的包含黑洞的空間等等。

愛因斯坦測地線假設說的是：時空中不受外力作用的理想粒子（有質量但無大小）的運動軌跡是類時測地線。類時指的是粒子速度不超光速，測地線可以理解為最短路徑。但現實世界中是不存在有質量無大小的理想粒子的，根據愛因斯坦的廣義相對論，當粒子進入時空後，在引力場的作用下，粒子的位置會發生改變，而粒子本身有質量，會產生引力場，因而會改變整個空間的引力場。

引力場的改變進而會修正粒子的運動軌跡。所以一個基本的問題是愛因斯坦的測地線假設是否跟廣義相對論相容，換句話說如果用真實的粒子去逼近理想粒子，那麼真實粒子的運動軌跡是否會趨於類時測地線。

劍橋大學的大衛 · 斯圖爾特（David Stuart）教授首先用某種非線性波方程的孤立子解（不依賴於時間的解）來模擬理想粒子，證明了愛因斯坦測地線假設短時間內成立，也就是在很短的時間內，粒子的運動軌跡是類時測地線，之後粒子的運動軌跡就沒辦法精確描述了。楊詩武的工作是將這個短時間結果推廣到任意時間，證明到任意時刻粒子的運動軌跡都是類時測地線。

至於 「質量為無窮大但不存在黑洞的時空」 這一愛因斯坦方程的解，楊詩武給 DeepTech 做如此解釋：已知的結果是質量必定會導致黑洞存在，楊詩武構造的解卻給出了任意時刻質量都為無窮大、但卻不存在黑洞的空間。「目前暫不清楚這對應於何種物理意義。」

「具有任意初始質量和任意最終質量（但小於初始質量）的包含黑洞的時空」，這個結論可以理解成時空初始質量和最終質量的比值可以是任意值，也就是這種時空的演化具有某種連續性。楊詩武表示，這跟霍金輻射沒有關係，單純是引力波損耗了時空中的質量。

「讓學生在國內就能學到最前沿的知識」

這個世界上，有人走到中年才發現自己的興趣所在，有人從小學開始，就已基本定下一生走向。楊詩武是後者。他從小就參加競賽，畢業後也在做數學研究，屬於典型的 「一心一意型」 的數學家。

他的學術經歷看起來一帆風順，2008 年從北大本科畢業後，赴美國普林斯頓大學留學，師從專門研究雙曲偏微分方程和廣義相對論的烏克蘭裔數學家伊戈爾 · 羅德尼亞斯基（Igor Rodnianski）。從普林斯頓大學博士畢業後，楊詩武去劍橋大學做博士後，合作導師是米哈利斯 · 達菲莫斯（Mihalis Dafermos），後者以研究數學中的廣義相對論著稱。

當年出國讀書時，年輕氣盛的他在申請材料的個人陳述中曾這樣寫道：「不管在國外學沒學成，都希望把我所學東西帶回來，讓中國學生往後不用費很大力氣出去留學。」

2016 年，闊別故土 8 年後，楊詩武回到母校北京大學，任北京國際數學研究中心助理教授。學成後的楊詩武對留學的看法有所改變：「即使我們國家數學研究走到很前沿，年輕人也需要多出去和別人交流。」但他的初心 「讓學生在國內就能學到先進知識」 並未改變。

楊詩武著意於人才的培養與傳承；他還認為，當一個老師，能迫使自己時刻緊跟前沿，從而把最好、最新的知識教給學生。

普林斯頓大學的伊戈爾教授給他的影響最是深刻。記得讀書時，楊詩武要做討論班報告，伊戈爾讓他把演講稿寫好，並讓他在跟前排練。後來寫論文時，伊戈爾一句一句幫他改，這是他讀大學以來從未見過的。

現在自己當了老師，楊詩武也用同樣的方式來教導學生。有學生曾這樣撰文評價楊詩武的課程《實變函數》：「楊老師從上課到作業到考試都表現出他的確是一個認真負責的好老師。每次下課休息一定要休息滿十分鐘…… 此外很值得一提的就是楊老師的作業——自己留題，平均每次至少 8 道的樣子。他的考試也比較硬核，而且和上課內容的關聯比較緊密，因此靠自學不能完全應付…… 也許這就是『硬課』的價值所在吧。」

在科研習慣上，楊詩武無論是出去散步、還是在家發呆，都會思考數學問題。有時想到一個問題，就想找到一張紙趕緊算一下。

1957 年，憑藉 「弱相互作用中宇稱不守恆理論」 獲得諾獎的楊振寧，在聽說該理論被實驗證實時，感慨稱：「看見了宇宙一個很深奧的秘密」「仿佛看到了凡人不該看到的東西」。

數學的深處同樣隱藏著宇宙的奧秘。楊詩武說：「數學的廣袤使得思路可以從無數方向出發，真正質變到來之前，你無法確定將經歷多少場空歡喜…… 我和導師、同門也不知道這一生能推演到哪一步。但這不是一個人的事情，一撥一撥人不斷推進，這本身就很美，不是嗎？」