1、無窮小的比較
定義設f(x)和g(x)均為某個變量變化過程x→x*的無窮小，g(x)≠0，則
(1)如果limf(x)/g(x)=0，則稱f(x)是比g(x)高階的無窮小（或高階無窮小），記作f(x)=o(g(x))( x→x*)；習慣地，將一個無窮小量記作o(1)；
(2)如果limf(x)/g(x)=∞，則稱f(x)是比g(x)低階的無窮小；
(3)如果limf(x)/g(x)=A≠0，則稱f(x)與g(x)是同階無窮小；
(4) 如果limf(x)/g(x)=1，則稱f(x)與g(x)是等價無窮小，並且記作f(x)~g(x)；等價無窮小是同階無窮小的特殊情形.
(5)如果limf(x)/gk(x)=A≠0(k>0)，則稱f(x)是關於g(x)的k階無窮小；
2、等價無窮小性質及計算極限應用
定理1：f(x)與g(x)是等價無窮小的充分必要條件是
f(x)=g(x)+o(g(x)).
定理2：如果f1(x)~ f2(x)與g1(x)~ g2(x)且lim(f2(x)/ g2(x))的極限存在，則lim(f1(x)/ g1(x))極限也存在，並且有
lim(f1(x)/ g1(x))=lim(f2(x)/g2(x)).
【注1】兩個無窮小之比求極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替。由於f1(x)~ f1(x)，g1(x)~ g1(x)，所以以上極限計算等式也可以只替換分子、或者只替換分母來求極限。
【注2】以上結論也適用於極限趨於無窮大的情形；
【注3】以上用等價無窮小替換計算極限的過程一般適用於相乘、相除因式整體用等價無窮小替換；對於等價無窮小加減運算，一般兩個等價無窮小相減不要替換；非等價無窮小相減，或等價無窮小相加一般可以替換。具體參見課件實例。
【注4】記住常用的幾個等價無窮小(8個，見課件列表)
3、求一元函數y=f(x)描述的曲線的漸近線的基本思路與步驟：
(1) 求出函數的定義域，並明確所有的定義區間的有限邊界點xk；
(2) 分別判定並計算x趨於正無窮大、趨於負無窮大函數f(x)的極限，判定是否具有水平漸近線；如果極限存在，則水平漸近線方程為y=極限值；水平漸近線的條數可以為0，1，2。
(3) 對所有定義區間的邊界點求或判定左右極限的存在性，如果對於邊界點xk左右極限有一個趨於無窮大，或正、負無窮大，則該邊界點對應的方程x=xk即為鉛直漸近線，鉛直漸近線的條數可以為0，1，2，…，無數條。
(4) 分別求或判定x趨於正無窮大、趨於負無窮大函數f(x)/x的極限，如果其中極限值存在且不為零，則有對應的斜漸近線，並針對求得的極限值k，求斜漸近線的截距b，即有
求相應變量變化過程的極限
則對應的斜漸近線方程為y=kx+b。斜漸近線的條數可以為0，1，2。