作者 | 守望
責編 | 胡巍巍
前言
假如面試官讓你編寫求斐波那契數列的代碼時，是不是心中暗喜?不就是遞歸麼，早就會了。如果真這麼想，那就危險了。
遞歸解法
遞歸，在數學與計算機科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。
斐波那契數列的計算表達式很簡單：
F(n) = n; n = 0,1F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;
因此，我們能很快根據表達式寫出遞歸版的代碼：
/*fibo.c*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>/*求斐波那契數列遞歸版*/unsignedlongfibo(unsignedlongint n){if(n <= 1)return n;elsereturn fibo(n-1) + fibo(n-2);}intmain(int argc,char *argv[]){if(1 >= argc){printf("usage:./fibo num\n");return-1; }unsignedlong n = atoi(argv[1]);unsignedlong fiboNum = fibo(n);printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);return0;}
關鍵代碼只有4行。簡潔明了，一氣呵成。
編譯：
gcc-ofibofibo.c
運行計算第5個斐波那契數：
$ time ./fibo 5the 5 result is 5real0m0.001suser 0m0.001ssys 0m0.000s
看起來並沒有什麼不妥，運行時間也很短。
繼續計算第50個斐波那契數列：
$ time ./fibo 50the 50 result is 12586269025real1m41.655suser 1m41.524ssys 0m0.076s
計算第50個斐波那契數的時候，竟然將近兩多鍾！
遞歸分析
為什麼計算第50個的時候竟然需要1分多鐘。
我們仔細分析我們的遞歸算法，就會發現問題，當我們計算fibo(5)的時候，是下面這樣的：
|--F(1)|--F(2)| |--F(3)| |--F(0)| ||--F(4)||--F(1) || || |--F(1)| |--F(2)| ||--F(0)F(5)|| |--F(1)| |--F(2)| || |--F(0)|--F(3)|| |--F(1)
為了計算fibo(5)，需要計算fibo(3)，fibo(4)；而為了計算fibo(4)，需要計算fibo(2)，fibo(3)……
最終為了得到fibo(5)的結果，fibo(0)被計算了3次，fibo(1)被計算了5次，fibo(2)被計算了2次。可以看到，它的計算次數幾乎是指數級的！
因此，雖然遞歸算法簡潔，但是在這個問題中，它的時間複雜度卻是難以接受的。
除此之外，遞歸函數調用的越來越深，它們在不斷入棧卻遲遲不出棧，空間需求越來越大，雖然訪問速度高，但大小是有限的，最終可能導致棧溢出。
在linux中，我們可以通過下面的命令查看棧空間的軟限制：
$ulimit -s8192
可以看到，默認棧空間大小只有8M。
一般來說，8M的棧空間對於一般程序完全足夠。如果8M的棧空間不夠使用，那麼就需要重新審視你的代碼設計了。
遞歸改進版
既然我們知道最初版本的遞歸存在大量的重複計算，那麼我們完全可以考慮將已經計算的值保存起來，從而避免重複計算，該版本代碼實現如下：
/*fibo0.c*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>/*求斐波那契數列，避免重複計算版本*/unsignedlongfiboProcess(unsignedlong *array,unsignedlong n){if(n < 2)return n;else{/*遞歸保存值*/array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];returnarray[n]; }}unsignedlongfibo(unsignedlong n){if(n <= 1)return n;unsignedlong ret = 0;/*申請數組用於保存已經計算過的內容*/unsignedlong *array = (unsignedlong*)calloc(n+1,sizeof(unsignedlong));if(NULL == array) {return-1; }array[1] = 1; ret = fiboProcess(array,n);free(array);array = NULL;return ret;}/**main函數部分與fibo.c相同，這裡省略*/
效率如何呢？
$ gcc -o fibo0 fibo0.c$ time ./fibo0 50the 50 result is 12586269025real0m0.002suser 0m0.000ssys 0m0.002s
可見其效率還是不錯的，時間複雜度為O(n)。
但是特別注意的是，這種改進版的遞歸，雖然避免了重複計算，但是調用鏈仍然比較長。
迭代解法
既然遞歸法不夠優雅，我們換一種方法。如果不用計算機計算，讓你去算第n個斐波那契數，你會怎麼做呢？
我想最簡單直接的方法應該是：知道第一個和第二個後，計算第三個；知道第二個和第三個後，計算第四個，以此類推。
最終可以得到我們需要的結果。這種思路，沒有冗餘的計算。基於這個思路，我們的C語言實現如下：
/*fibo1.c*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>/*求斐波那契數列迭代版*/unsignedlongfibo(unsignedlong n){unsignedlong preVal = 1;unsignedlong prePreVal = 0;if(n <= 2)return n;unsignedlong loop = 1;unsignedlong returnVal = 0;while(loop < n){ returnVal = preVal +prePreVal;/*更新記錄結果*/ prePreVal = preVal; preVal = returnVal; loop++; }return returnVal;}/**main函數部分與fibo.c相同，這裡省略*/
編譯並計算第50個斐波那契數：
$ gcc -o fibo1 fibo1.c$ time ./fibo1 50the 50 result is 12586269025real0m0.002suser 0m0.000ssys 0m0.002s
可以看到，計算第50個斐波那契數只需要0.002s！時間複雜度為O(n)。
尾遞歸解法
同樣的思路，但是採用尾遞歸的方法來計算。
要計算第n個斐波那契數，我們可以先計算第一個，第二個，如果未達到n，則繼續遞歸計算，尾遞歸C語言實現如下：
/*fibo2.c*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>/*求斐波那契數列尾遞歸版*/unsignedlongfiboProcess(unsignedlong n,unsignedlong prePreVal,unsignedlong preVal,unsignedlong begin){/*如果已經計算到我們需要計算的，則返回*/if(n == begin)return preVal+prePreVal;else{ begin++;return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin); }}unsignedlongfibo(unsignedlong n){if(n <= 1)return n;elsereturn fiboProcess(n,0,1,2);}/**main函數部分與fibo.c相同，這裡省略*/
效率如何呢？
$ gcc -o fibo2 fibo2.c$ time ./fibo2 50the 50 result is 12586269025real0m0.002suser 0m0.001ssys 0m0.002s
可見，其效率並不遜於迭代法。尾遞歸在函數返回之前的最後一個操作仍然是遞歸調用。
尾遞歸的好處是，進入下一個函數之前，已經獲得了當前函數的結果，因此不需要保留當前函數的環境，內存佔用自然也是比最開始提到的遞歸要小。時間複雜度為O(n)。
矩陣快速冪解法
這是一種高效的解法，需要推導，對此不感興趣的可直接看最終推導結果。
下面的式子成立是顯而易見的，不多做解釋。
如果a為矩陣，等式同樣成立，後面我們會用到它。假設有矩陣2*2矩陣A，滿足下面的等式：
可以得到矩陣A：
因此也就可以得到下面的矩陣等式：
再進行變換如下：
以此類推，得到：
實際上f(n)就是矩A^(n-1)中的A[0][0],或者是矩A^n中的A[0][1]。
那麼現在的問題就歸結為，如何求A^n，其中A為2*2的矩陣。
根據我們最開始的公式，很容易就有思路，代碼實現如下：
/*fibo3.c*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define MAX_COL 2#define MAX_ROW 2typedef unsigned long MatrixType;/*計算2*2矩陣乘法，這裡沒有寫成通用形式，有興趣的可以自己實現通用矩陣乘法*/int matrixDot(MatrixType A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType C[MAX_ROW][MAX_COL]){/*C為返回結果，由於A可能和C相同，因此使用臨時矩陣存儲*/ MatrixType tempMa[MAX_ROW][MAX_COL] ; memset(tempMa,0,sizeof(tempMa)); /*這裡簡便處理*/ tempMa[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B [1][0]; tempMa[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B [1][1]; tempMa[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B [1][0]; tempMa[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B [1][1]; memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa)); return 0;}MatrixType fibo(int n){ if(n <=1)returnn;MatrixTyperesult[][MAX_COL] = {1,0,0,1};MatrixTypeA[][2] = {1,1,1,0};while (n > 0) { /*判斷最後一位是否為1，即可知奇偶*/ if (n&1) { matrixDot(result,A,result); } n /= 2; matrixDot(A,A,A); } return result[0][1];}/**main函數部分與fibo.c相同，這裡省略*/
該算法的關鍵部分在於對A^n的計算,它利用了我們開始提到的等式，對奇數和偶數分別處理。
假設n為9，初始矩陣為INIT則計算過程如下：
9為奇數，則計算INIT*A，隨後A變為A*A，n變為9/2，即為44為偶數，則結果仍為INIT*A，隨後A變為
，n變為4/2，即22為偶數，則結果仍未INIT*A,隨後變A變為
,n變為2/2，即11為奇數，則結果為INIT*(A^8)*A可以看到，計算次數類似與二分查找次數，其時間複雜度為O(logn)。運行試試看：
$ gcc -o fibo3 fibo3.c$ time ./fibo3 50the 50 result is 12586269025real0m0.002suser 0m0.002ssys 0m0.000s
通項公式解法
斐波那契數列的通項公式為：
關於通項公式的求解，可以當成一道高考數列大題，有興趣的可以嘗試一下（提示：兩次構造等比數列）。C語言代碼實現如下：
/*fibo4.c*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>unsignedlongfibo(unsignedlong n){if(n <=1 )return n;return (unsignedlong)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));}/**main函數部分與fibo.c相同，這裡省略*/
來看一下效率：
$ gcc -o fibo4 fibo4.c -lm$ time ./fibo4the 50 result is 12586269025real0m0.002suser 0m0.002ssys 0m0.000s
計算第50個，速度還不錯。
列表法
如果需要求解的斐波那契數列的第n個在有限範圍內，那麼完全可以將已知的斐波那契數列存儲起來，在需要的時候讀取即可，時間複雜度可以為O(1)。
斐波那契數列應用
關於斐波那契數列在實際中很常見，數學上也有很多奇特的性質，有興趣的可在百科中查看。
總結
總結一下遞歸的優缺點：優點：
實現簡單可讀性好缺點：
遞歸調用，佔用空間大遞歸太深，易發生棧溢出可能存在重複計算可以看到，對於求斐波那契數列的問題，使用一般的遞歸併不是一種很好的解法。所以，當你使用遞歸方式實現一個功能之前，考慮一下使用遞歸帶來的好處是否抵得上它的代價。
篇幅有限，不在此介紹，更多使用方法可以通過man命令名的方式去了解。
作者簡介：守望，一名好文學，好技術的開發者。在個人公眾號【編程珠璣】分享原創技術文章和學習資源，期待一起交流學習。聲明：本文為作者投稿，版權歸作者個人所有。
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