生命曲線與神聖的斐波那契數列

斐波納契（Fibonacci）中世紀歐洲比薩共和國的義大利數學家，被認為是當時「 最有才華的西方數學家」。不過我們現在來這樣稱呼他，可能會讓他本人李奧納多·皮薩諾(Leonardo Pisano)感到錯愕。同樣讓他感到驚訝的是，最讓世人津津樂道是以他命名的這個斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13……，而並非本人更偉大的數學成就——將阿拉伯數字和乘數的位值表示法系統引入了歐洲。

Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci

神聖的羅馬帝國給歐洲留下了羅馬數字系統，直至今日在很多電影中的版權聲名裡，我們仍然可以看到"2013年是 MMXIII "這樣的表述。羅馬數字直到公元13世紀中葉才被阿拉伯數字取代，李奧納多·皮薩諾的著作《計算之書》(Liber Abaci)，就是最早推薦用阿拉伯數字來取代羅馬數字的西方書籍之一。

李奧納多·皮薩諾出生於12世紀末義大利比薩城，所以人們又稱他為比薩的李奧納多。皮薩諾，在義大利語中表示他來自比薩城，正如曼徹斯特表示來自曼徹斯特一樣。李奧納多的父親名叫古列爾莫·巴納奇奧（ Guglielmo Bonaccio）。幾個世紀後，當學者們研究《計算之書》的手抄本時(因為它是在印刷術發明之前出版的)，他們誤解了書名的一部分-"filius Bonacci"(意思是Bonaccio之子)的縮寫Fibonacci解讀為他的姓氏，於是我們稱道的大數學家」斐波那契」由此這個錯誤中流傳至今了。

斐波那契(我們還是這樣稱呼他吧)在北非度過了他的童年，接受過摩爾人的教育，在巴爾巴裡（阿爾及利亞），遊歷甚廣，後來被派往埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯出差。公元1200年，他回到比薩後，利用在旅行中所學到的知識撰寫了《計算之書》(出版於1202年)。就是在這本書裡他把印度-阿拉伯數字系統引入到了當時的拉丁語世界中。在該書的第一部分第一章開始部分寫道：

"這是印度人的九個數字：9 8 7 6 5 4 3 2 1。用這9個數字，再加上符號0(在阿拉伯語中稱為zephiroum)，我們就能將任何數字都可以像下面那樣書寫出來"。

當時的義大利是由獨立的小城邦和地區組成的，這導致了人們使用多個度量和貨幣系統。而當商人在不同的系統之間進行交易時，被迫要從一個系統換算到另一個系統，而落後的羅馬數字計算方式更是嚴重抑制了商業行為。斐波那契為這些商人編寫了《計算之書》，其中就涉及到大量的實際問題，並舉例說明，與笨拙的羅馬數字相比，這套新的數字系統可以多麼簡單、高效地進行商業和數學計算。透過斐波那契的這本書將十進位數字影響傳播開來是他最偉大的數學成就。然而，本人卻是因為《計算之書》中列舉的斐波那契數列被世人所熟知的。

斐波那契的兔子問題

斐波那契在《計算之書》中研究的一個數學問題是關於兔子在理想環境下繁殖的速度。假設一對新生的兔子，一隻公的，一隻母的，被放進田裡豢養。兔子可以在一個月大的時候交配，這樣在第二個月的月底，雌性兔子就能生產出另一對兔子。假設兔子永遠不會死，從第二個月開始，雌兔每個月都會生一對新的兔子(一隻雄的，一隻雌的)。斐波那契提出的問題是。一年後總共會有多少對兔子？

· 在第一個月末，它們交配，但仍然只有一對。

· 在第二個月末，雌兔生了一對新的兔寶寶，所以現在共有2對兔子。

· 在第三個月末，原來的雌性產生了第二對，總共生產了3對。

· 在第四個月末，原來的雌性又生產了一雙新的，兩個月前出生的第二代雌性也生產了她的第一對，現在共有五對兔子。

現在假設一下，n個月後有 x_n 對兔子。則 n+1個月將有的兔子數，是 x_n 對兔子，(兔子永遠不會死)加上新出生的一對數。但是新的一對只出生在至少一個月大的時候，所以會有 x_(n-1) 對新兔子。所以我們有

這只是產生斐波那契數列的規則：最後兩項相加得到下一項。接下來，你會發現在12個月之後，將會有233對兔子。

其實以蜜蜂為例更好

兔子的問題顯然是人為設立出來的，但斐波那契數列也確實出現在大自然實際種群中，而蜜蜂就是其中一個實例。在蜂群中，有一種特殊的雌性叫做蜂王。其他雌性都是工蜂，而工蜂不會產卵。另外的雄性蜜蜂並不工作，被稱為雄蜂。

雄蜂是由蜂王的未受精卵子產生的，所以說它只有母親而沒有父親。而所有的雌性都是在蜂王和一隻雄性交配的時候產生的。因此，雌性蜜蜂有父母，一個雄性和一個雌性，而雄蜂只有一個母親，一個雌性。

現在讓我們看看上面雄蜂的家譜從下往上來看，就會再一次看到其中的斐波那契數列了吧.

螺旋與貝殼

蜜蜂種群並不是自然界中唯一出現斐波那契數的地方，它們也以美麗的貝殼螺旋形狀出現。我們可以看下面的動畫，從兩個大小為1的小正方形開始。在這兩個小正方形上面畫一個大小為2的正方形(=1+1)。我們現在可以畫一個新的正方形-同時緊貼一個單位正方形和第二個新正方形的邊的，所以邊有3個單位長；然後另一個同時緊貼2個正方形和3個正方形(它有5個單位的邊)。我們可以繼續在圖片周圍添加正方形，每一個新的正方形都有一個邊，其長度與最近兩個正方形的邊之和一樣長。這組矩形的邊長是兩個相鄰的斐波那契數，我們稱之為黃金矩形.

如果我們現在每個正方形上畫一個四分之一的圓，我們就可以畫出一條螺旋線。準確來講，這條螺旋不是真正的數學螺旋線(因為它是由圓弧線段組成的，且半徑不會越變越小)，但它可以很好的近似於經常出現在自然界中的螺旋形狀，比如蝸牛和貝殼。在下面的圖像中，一隻海洋貝殼的橫截面顯示了貝殼的螺旋曲線。

斐波那契數列也出現在植物的花瓣、萼片中。有些植物也按這種方式生長開來，比如雛菊可以有34，55，甚至多達89瓣！還有就是一個特別神奇、美麗的排列是花蕾中的螺旋線。下一次當你看到向日葵時，仔細觀察花盤中的種子排列，會發現兩組螺旋線，一組順時針向右，一組逆時針向左，並且彼此鑲嵌，按照這種方式排列生長。

觀察上面這幅向日葵圖片的邊緣，如果你數一數，當你向外走的時候，種子的曲線向左螺旋，就會有55個螺旋。在同一點上，有34個螺旋種子螺旋向右螺旋。再往中間一點，你可以數到左邊34個螺旋，右邊21個螺旋。在斐波那契數列中，數字對(向左彎曲和向右彎曲的螺旋數)總是相鄰(如下圖所示)。

自然界中的許多種子和花蕾也是如此。原因似乎是這種結構形成了種子的最佳布局，因此，無論種子有多大，它們在任何階段都是均勻分布的，所有種子大小相同，中心不擁擠，邊緣不太稀疏，花盤也最為堅固。

大自然似乎用相同的模式把花瓣圍繞在花的邊緣，把葉子分布在莖周圍。更重要的是，在植物整個持續生長的過程中，都保持著這種結構！那麼，植物是如何做到保持這個的最優方式呢？

物競天擇的黃金生長

植物學家已經證明，植物都是由其頂端被稱作分生組織的細胞分裂生長而成的。在每個分枝或小枝的末端有一個獨立的分生組織，有此處形成新的細胞。一旦形成，它們的大小就會增長，但是新的細胞只會在這樣的生長點破壁而出。細胞在繞著莖幹，向外奮力長出。而且，這些細胞呈螺旋狀生長，就像分生組織以一個角度旋轉，產生一個新的細胞，以同樣的角度再次旋轉，再產生一個新的細胞，如此下去。這些細胞可能是新的種子，新的花瓣，新的枝條。

這裡的葉子是依次編號的，每一個都是前一個順時針旋轉(222.5°)的0.618圈。

令人驚奇的是，無論植物有多大，這樣一個固定的旋轉角度都能產生最優的布局設計。早在上個世紀就有人推測，按照這個角度總能產生均勻填滿平面空間，但直到1993年才由和兩個法國數學家從數學上得以證明。在新種子(或葉子、花瓣等)破壁而出之前，這樣做0.618圈旋轉就會產生最佳的種子布局，但是這個神奇的數字0.618又是從何而來的呢？

黃金比例 φ

如果我們取斐波那契數列中兩個連續數的比率，除以前面的數，我們會得到以下數列：

如果你繪製出這些值的圖表，你會發現它們似乎趨向於一個極限，我們稱之為黃金比例(亦稱黃金數和黃金分割).

連續斐波那契項的比率準確值是 (√5 + 1)/2 (約1.618034)，通常用希臘字母Phi(大寫的希臘字母Φ)表示。Phi的小數部分用小寫的phi(希臘字母:φ)表示, 準確值為 (√5 - 1)/2 , 約等於0.618034。這個φ與許多植物種子中螺旋線的數量以及葉序的排列更為密切，所以我們也會在很多種的植物中看到φ的身影。

數值Phi是無理數，同樣phi也是無理數，就是說它們不能寫成一個簡單的分數形式。讓我們看看，如果植物的分生組織按一些更簡單的數字旋轉，例如1/2，會發生什麼。經過旋轉兩圈後，我們又回到了第一顆種子的方向。隨著時間的推移，隨著新種子在中心不斷長出，每轉動半圈就推動之前的種子往兩個生長的方向輻射出去，而餘留上下平面空間。

按0.5=1/2圈在種子之間旋轉：種子交替長成一條線。按0.48=12/25圈會在種子之間旋轉：種子形成兩條旋螺路徑。按0.6=3/5會在種子之間旋轉：種子形成5條旋螺路徑。按π圈在種子之間旋轉：種子產生七條螺旋路徑。類似圖案發生在按照其他數值進行旋轉的情形：如果種子按照上面幾個螺旋線的路徑不斷分裂長出，那在它們之間就會留下很大的空間(螺旋線數目就是這個比例的分母)。因此，螺旋線數的最佳值將是一個無理數。但不是任何無理的數都可以。例如，按照 π 值生長似乎有七條螺旋線，這是因為 22/7 是π的一個很好的有理逼近。

為了儘可能的利用空間，需要的是一個儘量不能被有理數所近似的無理數，這個結果就是Phi或phi，因為它們是所有無理數中"最不理性的"。這就是為什麼Phi值的變化給出了植物種子和葉子的最佳布局。這也解釋了為什麼斐波那契數列會出現在葉序和花盤的上螺旋生長線上——相鄰斐波那契數的比率最終無限趨近於黃金比例。

那麼植物是如何發現這個美麗且實用的數字φ呢？顯然不是像斐波那契那樣通過解數學計算得出的。而是植物在億萬年進化的過程中逐步演化停留在最合適自己生存的數字上。斐波那契所留下的遺產不僅閃爍在每株植物的花蕾之上，也是數學世界所綻放最耀眼魅力光芒中的一束。