奇妙的斐波那契數列

義大利的數學家列昂那多·斐波那契在1202年研究兔子產崽問題時發現了此數列。斐波那契在《計算之書》中提出了一個有趣的兔子問題：假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那麼，由一對小兔子開始，12個月後會有多少對兔子呢？

兔子繁殖的過程可以通過一棵「家族樹」來表示，如圖所示。

讓我們來推算一下在第五個月結束時兔子的總數：

第1個月：只有1對小兔子；

第2個月：1對小兔子長成一對大兔子；

第3個月：這對兔子生了1對小兔子，這時共有2對兔子；

第4個月：老兔子又生了1對小兔子，而上個月出生的兔子剛成熟，這時共有3對兔子；

第5個月：這時已有2對兔子可以生殖，於是生了2對小兔子，這時共有5對兔子；

第6個月：這時已有3對兔子可以生殖，於是生了3對小兔子，這時共有8對兔子；

第7個月：……

我們可以用列表整理的方法逐月推算兔子的繁殖情況，你能把下面的表格填寫完整嗎？ 

到十二月時大兔子有     對，小兔子有     對，共有兔子     +      ＝      對。

觀察上表：你發現每月小兔子對數與什麼有關？每月大兔子對數與哪些數量有關？

每月兔子總對數排成數列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此數列稱為斐波那契數列，又被叫做「兔子數列」，上述數列中的每一個數稱為斐波那契數。

如此往復下去，是否要一直這樣麻煩地推算下去呢？不妨讓我們仔細尋找一下這些數字之間的關係吧！請把你的發現寫在下面。

一個樓梯共有10級臺階，規定每步可以邁一級臺階或二級臺階，從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？

列表試試看吧！

思考：

有5級臺階時：若第一次邁1級臺階，還剩4級，有幾種？

若第一次邁2級臺階，還剩3級，有幾種？你有什麼發現？

數學的各個領域常常奇妙而出乎意料地聯繫在一起，斐波那契數列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命力。發人深省的是，斐波那契數列確實在許多問題中出現。

自然界中的斐波那契數

大多數植物的花，其花瓣數都恰好是斐波那契數。例如，蘭花、茉莉花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。

那麼這個「斐波那契數列」究竟有什麼研究價值呢？這裡我們就要提到黃金分割，斐波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比的。