斐波那契數列——隱藏在自然界的數學美

2021-01-13 中國國家地理

是大自然的天作之合成全了數學之美?

還是數學揭示了自然規律而美不勝收?

今天的故事要從西元1202年說起

一位叫列昂納多·斐波那契的義大利數學家

他發現了一個無聊有趣問題：

假設一對初生兔子一個月到成熟期

一對成熟兔子每月生一對兔子

並且一年內沒有發生死亡

那麼，由一對初生兔子開始

一年以後可以繁殖多少對兔子？


依照上述兔子的繁殖規則，答案是這樣的

第一個月：只有1對小兔子

第二個月：小兔子還沒成年，還是1對小兔子

第三個月：

兔子成年生1對小兔子，此時有2對兔子

第四個月：

成年兔子又生了1對兔子

加上自己及上月生的小兔子，共有3對兔子

第五個月：

成年兔子又生了1對兔子

第三月生的小兔子已經長成年且生了1對小兔子

加上本身兩隻兔子及上月生的兔子，共5對兔子

......

這麼說估計大家都會很懵，看圖就比較方便了

規律是，每月的兔子對數

=上一月的兔子對數＋該月新生的兔子對數

=上一月的兔子對數＋上上月的兔子對數


即第n個月的兔子對數為Fn，F1＝F2＝1

則對n＞2，有Fn＝Fn-1＋Fn-2

根據上述規律

可預測到第十二個月兔子數量共為144對


至此，兔子問題得以解決

而以上每個月份兔子數量的數列

即為「斐波那契數列（Fibonacci sequence）」

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

斐波那契數列中的任一個數，都叫斐波那契數

斐波那契數是大自然的一個基本模式

只要我們認真觀察

斐波那契數存在於自然界的萬物中

向日葵的花盤中有兩組螺旋線

一組順時針方向盤繞，另一組逆時針方向盤繞

並且彼此相嵌

圖中向日葵的兩類曲線

綠色的逆時針螺線有13條

藍色的順時針螺線有21條

13和21正是斐波那契數列中相鄰的兩項

雖然不同的向日葵品種中

這些順逆螺旋的數目不固定，但往往不會超出

13和21、34和55、55和89或89和144這幾組數字

每組數字都是斐波那契數列中相鄰的兩個數

順、逆螺旋這樣排列的目的

是為了讓植物最充分地利用陽光和空氣

繁育更多的後代

而這種排列則是在長期進化中自然選擇的結果

以及樹木的生長

新生的枝條往往需要一段「休息」時間

供自身生長，而後才能萌發新枝

所以，一株樹苗在一段間隔後長出一條新枝

第二年新枝「休息」，老枝依舊萌發

此後，老枝與「休息」過一年的枝同時萌發

當年生的新枝則次年「休息」

這樣下去，一株樹木各個年份對應的枝椏數

便構成斐波那契數列

這個規律就是生物學上著名的「魯德維格定律」

當我們按斐波那契數列，取邊長分別為

1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形

每一個新的正方形都有一個邊

其長度與最近兩個正方形的邊之和一樣長

這組矩形的邊長是兩個相鄰的斐波那契數

稱為斐波那契矩形，也叫黃金矩形

（記住這個黃金矩形，等下還會再次出現）

然後,以各正方形的一個頂點為圓心

畫出四分之一的曲線，再連接所有曲線

最後形成的螺旋線就是下圖所示的

「斐波那契螺旋線」

人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀

這種形狀的構造幫助人類可以更好的接收聲波

從而增強聽覺

此外，與斐波那契螺旋線非常相似的還有一種

對數螺線，也稱等角螺線

即穿過原點的任意直線與等角螺線相交的角永遠相等

現在讓我們再次回到斐波那契數列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

如果我們取斐波那契數列中兩個相鄰的數字

後面的數字除以前面的數字，會得到以下數列


            1/1=1                    34/55=0.61818

            1/2=0.5                 55/89=0.61798

            2/3=0.66667          89/144=0.61806

            3/5=0.6                144/233=0.61803

            5/8=0.625             233/377=0.61804

            8/13=0.61538        377/610=0.61803

            13/21=0.61905      610/987=0.61803

            21/34=0.61765      987/1597=0.61803

在圖表中繪製這些數值


發現當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值

越來越逼近黃金分割率 0.618

而我們其實也可以從剛剛的斐波那契矩形中

來理解黃金分割

黃金分割是指把一條線段分割為兩部分

使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比

即圖中的b/a=a/a+b=(√5-1)/2≈0.618

黃金分割也被廣泛應用於建築界

被認為是建築和藝術中最理想的比例

蘊含著藝術性、比例性、和諧性

歷史上許多著名的建築

實際上它們或多或少都應用了黃金分割

古希臘巴特農神廟是舉世聞名的完美建築

建成於公元前477年至前432年

它坐落在希臘首都雅典衛城的最高點上

是為了慶祝雅典戰勝波斯而建

神廟的地面和頂部、立面的高和寬

都十分接近黃金分割比

所以後人曾經感嘆說：

帕特農神廟不能多加一點，也不能減少分毫

埃及金字塔的建造也充分利用了黃金分割的原理

雖歷經幾千年的自然侵蝕和人為破壞，已殘損不堪

但從遠處觀望金字塔

雄偉龐大的建築體在整體上還是呈現為一個角錐體

並且是一個最具有美感的四角錐體結構

雖然這些金字塔大小各異

金字塔底面的邊長與高的比都接近於0.618

矗立在塞納河南岸法國巴黎的艾菲爾鐵塔

於1889年建成，是當時世界上最高的建築物

鐵塔設有三個平臺

其中第二個平臺的位置就十分接近於

全塔高度的黃金分割點

而且除了美，黃金分割還有另外一個作用

就是穩，科學家發現

如果兩根相鄰的弦線長短一致並且產生同樣的振動

共振顯然是最大的

而當弦長度是無理數的時候共振最小

符合黃金分割率的建築

在地震中所導致的共振並不大

而黃金分割率就是無理數，符合共振最小的規律

存在於自然界的數學之美不勝枚舉

蝴蝶翅膀的對稱生長

理想情況下雪花的科克曲線

銀河系螺旋狀的旋臂......

數學與自然無處不在的結合

閃耀著無限的光芒

心有多大，地理就有多廣博

如果你有任何想對地理君說的話

就在評論區留言吧


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