斐波那契數列是一個眾所周知的且經過研究的數字序列，經常在學校和休閒數學中使用，因為它很容易被那些受過有限的專業數學教育的人理解。序列的定義如下：第一項是零，第二項是一，任何其他項都是序列前兩項的和。這個序列的正式寫法如下
當n> 1時。序列的前十項為0、1、1、2、3、5、8、13、21、34。
有大量證據表明，這些數字是Sanskit詩歌傳統的一部分，在2000年前就為人們所熟知。在歐洲，該序列首次出現在1202 年斐波那契的書Liber Abaci中，在那裡他用它來模擬兔子種群。如今，該序列已在許多領域得到應用，包括經濟學，光學和金融市場交易
斐波那契數具有很多有趣且令人驚訝的特性，在此我將舉例說明和證明其中兩個。兩種證明都將使用數學歸納法
1.數學歸納法
如果您不熟悉數學歸納法，請這樣考慮。想像一下，我擁有一套永無止境的多米諾骨牌，而我將把它們全都站起來，形成一串多米諾骨牌，它們將永遠相互撞倒。為確保發生這種情況，我需要了解以下內容：
第一個多米諾骨牌被擊倒了。
2.碰到任何多米諾骨牌都會導致下一個多米諾骨牌被碰倒。
以類似的方式，我們可以通過證明以下事實來證明對於所有數字n都是正確的：
1. n = 1時成立(稱為歸納開始)
2. 如果n = k成立，那麼n = k + 1也成立。(這被稱為歸納步驟。即證明如果所有n≤k都成立，那麼n = k + 1也成立。)
2。關於「斐波那契三胞胎」的一個有趣的結果
三個連續的斐波那契數的所有組之間都有一種迷人的關係。在我們將定理和證明形式化之前，這裡首先是一個例子。
例2.1：如果您採用任意三個連續的斐波那契數，則中間數的平方與外部兩個數的乘積始終不超過1。觀察連續的三元組8、13、21，可以看到168 ﹣169 = -1。如果您查看後面的三元組89、144、233，我們會看到20737 ﹣20736 = 1。
讓我們正式證明這個結果。
定理2.2：對於任何三個連續的斐波那契數集
證明：為了從n= 1 開始歸納，我們看到前兩個斐波那契數是0和1，並且根據需要0 ﹣ 1 = -1。現在對於歸納步驟，我們假設對於n = k，結果為true ，即：
現在我們來看n= k + 1的情況，我們觀察到：
現在我們從假設中知道：
將其代入先前的等式，我們得到：
最後，可以將其重新排列為：
這是n=k+1所需的結果。
3.在斐波那契數列中「跳躍式前進」
如果你認為在不知道前兩項的情況下，是不可能計算斐波那契數列中的一項的，這是可以理解的，但這並不完全正確。下面的結果可以讓您基於在序列中相當靠後的項來計算項的值。
定理3.1：對於任何正整數m和n：
證明：我們對m使用歸納法。對於m = 1，方程簡化為一個平凡恆等式，因此建立了歸納法。
現在我們假設結果對m = k成立我們的目標是證明它對m = k + 1成立。我們來看看方程的右邊m = k + 1的情況。
例3.2:為了好玩，讓我們來計算第21個斐波那契數——這將演示如何構建算法來構造非常大的斐波那契數。首先，我們可以說，20 = 10 + 10，遞歸地工作，直到我們找到早期的斐波那契數的值：