利用斐波那契數列實現英裡和公裡轉換

斐波那契數列還可以這樣玩，有點意思。

這個有趣的數學 trick 源於一個實證觀察和斐波那契數列。首先，我們定義英裡和公裡的關係：

1英裡 = 1.60934公裡，1公裡 = 0.621371英裡

如果看起來很熟悉，那是因為這些數字非常接近黃金分割率。

注意到黃金分割率接近於英裡和公裡的換算係數，我們可以重寫英裡和公裡之間的近似關係:

(如果你想跳過證明，那麼跳過這一部分)。

將斐波那契數列與黃金分割率聯繫起來

正如標題所承諾的，我將展示斐波那契數列如何將英裡轉換為公裡，但是首先我們需要在斐波那契數列（F(n)）和黃金比率（φ）之間建立一個連接。為了做到這一點，我們將使用比奈公式（Binet’s formula）:

很容易注意到，黃金分割率就在比奈公式中。現在，我們需要一種公式，這種公式以以斐波那契數列為項明確地表示黃金分割率。為了分離 φ，讓我們嘗試計算後續項的比率:

這裡，我將提出一個論點，讓計算這個巨大的極限變得更容易。由於1/φ < 1，隨著 n 的不斷增加，它們接近於0。因此，我們可以去掉分子和分母的1/φ 部分，並抵消這些常數。這樣得到了:

這給了我們一個近似值:

看起來非常接近

最後階段

簡單複習一下，斐波那契數列的前幾個數字是 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…

現在，上面的近似告訴我們，用斐波那契數乘以 φ，大致等於找到斐波那契數列的下一個數。

利用這個論點，如果我們要將5英裡換算成公裡，我們就會找下一個斐波那契數，也就是8，所以我們的近似是5英裡 = 8公裡。事實上，5英裡等於8.04672公裡。

現在，如果我們想把10英裡換算成公裡。10不是斐波那契數，所以我們必須將10重寫為斐波那契數的和(8 + 2)。然後，得到(8 + 2) 英裡 = (13 + 3) 公裡 = 16 公裡。如果我們使用實際的換算係數，我們得到10英裡 = 16.0934公裡。

如果我們想把公裡換算成英裡呢？如果用 φ 乘就能找到下一個斐波那契數，那麼用 φ 除就能找到前一個斐波那契數。

舉個例子，把42公裡轉換成英裡。首先，我們將42分解為斐波那契數的和，(34 + 8) 公裡 = (21 + 5) 英裡 = 26英裡。如果我使用實際的轉換係數，你得到的是 42公裡 = 26.0976英裡。

結語

無論如何，這都不算是嚴肅的數學問題。這只是一個有趣的trick，來自於深入的觀察。然而，我想指出的是，這是一個美是如何從宇宙的隨機性中顯現出來的例子。在計算英裡和公裡時，沒有人想到黃金比例或斐波那契數列，然而這種聯繫是存在的。

謝謝你的閱讀。

來源：https://medium.com/cantors-paradise/how-fibonacci-can-help-us-convert-between-miles-and-kilometers-6b5344782bbb