非常奇妙:黃金分割率、斐波那契數列、楊輝三角與易經河洛的關係

2021-01-15 隱士申子源

黃金分割率,是人們經常聽到的一個比率,它非常的有趣,非常的奇妙,

黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值,其比值約為0.618。這個比例被公認為是最能引起美感的比例,因此被稱為黃金分割。

他們的比率叫做:黃金分割率,

為了更好的了解這一常識,我們必須了解:斐波那契數列,

斐波那契數列(Fibonacci sequence),又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為「兔子數列」,

指的是這樣一個數列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

在數學上,斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義:F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)

在現代物理、準晶體結構、化學等領域,斐波納契數列都有直接的應用,為此,美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌,用於專門刊載這方面的研究成果。

這個時候,我們來看看斐波那契數列與矩形面積的生成相關,由此可以導出一個斐波那契數列的一個性質。

斐波那契數列前幾項的平方和可以看做不同大小的正方形,由於斐波那契的遞推公式,它們可以拼成一個大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等於大矩形的面積。則可以得到如下的恆等式:(如圖)

這個時候,斐波那契數列和黃金分割率就聯繫了起來,

其實,我國古代的數學家,楊輝,發現了著名的楊輝三角,(如圖)

那麼我們就會想,我們古代的數學家是如何得到這些智慧呢?

其實,楊輝三角的排列,讓人們更容易聯繫到易經的主要內容:

無極生太極,太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦,以此類推下去,每次生化出來,增加一個爻位。

六十四卦是什麼,就是六爻卦,看到這裡,楊輝三角和易經是聯繫起來的,

其中的聯繫,是把同樣帶有相同數目陰陽爻分類的卦歸為一類,比如:

純陽卦、純陰卦卦各對應一數,

卦中有一個陰爻的對應一類,有多少個算多少,

卦中有一個陽爻的對應一類,有多少個算多少,

以此類推,(如下圖)

那麼楊輝三角和河圖洛書直接關聯的,

洛書、太極圖中隱含的數學結構和黃金分割,

《大戴禮記·明堂篇》載文王之廟「明堂」設有「九室」,其數制是「二九四,七五三,六一八」,此即洛書。後人更以「二、四為角,六、八為足,左三右七,戴九履一,五居中央」示之。由此洛書的結構是很確定的。

洛書又稱九宮圖,為一三階幻方,即每行數相加都是十五,但其實在的意義並不止此。將其中的偶數提取出來,即成如下圖式:

直觀此圖,似乎並無特色。但按右旋結構,即可發現2+6=8,6+8=14,8+4=12,4+2=6,為方便起見,捨去10位數,只留個位數,即可發現其右旋結構為一加法序列,2+6=8,6+8=4,8+4=2,4+2=6,這一序列是循環的,按其左旋結構,則2×2=4,4×2=8,8×2=16,6×2=12,亦捨去10位數,即可發現其左旋結構為一乘法序列,2×2=4,4×2=8,8×2=6,6×2=2,這一序列也是循環的。事實上,2,6,8,4這一序列是斐波那契數列2(1,3,4,7,11……)的個位數的循環序列,2,4,8,6這一序列是等比數列2(1,2,4,8,16……)的個位數的循環序列。再將此圖簡化,即是如下圖式:

對其略加調整,即是: 3 4 2 1

這一簡單圖式竟然包含著正旋為加法序列,反旋為乘法序列的奇妙結構,若不細思,實難發現。前又已述,加法表示事物之間距離較大的關係,乘法表示事物之間距離較小的關係,那麼能否把二者協調起來呢,能不能找到一個既有加法序列的特點,使事物保持各自的特性,又有乘法序列的特點,使事物保持足夠程度的相互聯繫呢了?

先設定1為為始數,斐波那契數列的特點是在a,b,c數列中a+b=c,而乘法數列的規律是b2=ac,設a=1,則1+b=c,b2=c,由此得到一個一元二次方程,

即b2-b-1=0,則b1= ,b2=— 這正是黃金分割的比率。因此,黃金分割分割數列 ,1,1+ ……正好是同時符合加法序列與乘法序列兩種序列特點的黃金分割序列。

左旋序列即在傳統文化中頗有地位的「太極生兩儀,兩儀生四象,四象變八卦」的1,2,4,8……序列。

右旋序列即為西方數學家斐波那契所發現的一種斐波那契數列,即1,3,4,7……。

眾所周知,斐波那契數列的特點是其相鄰兩數的比率無限地趨向黃金分割,表現出一種不斷進化和選擇的精神。而乘法序列則是按照一個固定的比率無限地裂變,體現了穩定的遺傳牲。乘法序列還體現了一種平等原則,1分為2,2之中每個1都是完全一樣的,是平等的。而加法序列則體現了一種自性(或自由)原則,合二為一,一之中兩個數(c=a+b)是不均勻的,保持著各自的特點。但乘法序列中的平等是同一等級之間的相互平等,不同等級之間是不平等的,加法序列則沒有明顯的等級關係,前一等級中的大數又構成後一等級中的小數,級差不太顯著。黃金分割序列則是自由原則與平等原則,均勻與非均勻的同一,是圓滿而又完美的序列,它既代表了一分為二的裂變而生的簡單的單性生殖,又代表了合二為一的和合而生的複雜的雙性繁殖,是潛藏的美妙結構。

這一玄妙的結構是如何產生的呢,是出於偶然的數學遊戲還是必然的宇宙結構,其實按照中國的傳統思想,這一結構是非常自然的。

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