在說函數之前，我們首先更加廣泛的談論映射這個概念。（這樣能將現實中的很多事情數學化）
什麼是映射？映射是兩個集合之間的對應規則。
具體的，已知集合X和Y. 集合X到Y的一個映射f，是將X中的任何一個元素，都對應Y中的一個元素。抽象的說，映射f是一些偶對的集合{ (a,b): f(a)=b }
例如
大帥，你今天更新的文章太難懂了吧。能不能來點不一樣的呀？
那要不就來個現實的例子——給寵物取名字！
我們將這張圖片數學化，就是說，這裡有這樣一個映射
｛ 貓1，貓2，貓3，貓4，貓5 } --->｛名字｝
左邊是這樣一個集合，它裡面的元素就說圖片中的五隻萌萌的小貓。我們從左到右依次稱呼為貓1，貓2，....，貓5.
右邊是所以你能想像的名字做元素構成的集合。
這張圖片給出了這兩個集合中的對應法則：
「貓1」對應（叫）「土豆」；
「貓2」對應（叫）「雪球」；
「貓3」對應（叫）「大黃」；
「貓4」對應（叫）「糯米」；
「貓5」對應（叫）「灰毛」。
這個對應，我們稱為一個映射。
現實中很多事情，用數學的語言，就是映射。
比如老師上課點人數，比如遊戲中鍵盤的每一個按鈕對應的遊戲技能，比如身高，比如顏值，等等，幾乎處處可見。
自然的，學好映射的概念，在生活中你將變得比別人要更加犀利。小夥伴們，是不是更有興趣讀下去了？
為了更好的在生活中把妹撩漢，我們要學習反映射。（不要問我為什麼這兩者之間有聯繫，學了你就知道了。）
其實反映射非常簡單，比如剛才那個5個萌貓的圖片。我們說有從萌貓集合到名字集合的映射。實際上，我們也有從那五個名字的集合到萌貓集合的映射。
可能有人說，這不是顯然的嗎？
是的，很顯然。然而，這兩者之間是有差別的。
什麼差別？
一個是說哪只貓叫什麼名字；一個是說哪個名字對應什麼貓。
比如，在前者的意義下，有這樣的場景：
本帥問，從左到右第3隻貓，你叫什麼？
貓3回答：報告大帥，我叫大黃。
而在後者的意義下，是這樣的場景：
本帥問，花名冊上大黃來了沒有？
貓3回答：到！
好，大家應該大概明白了，在說映射的時候，一定要指明從哪到哪。
那麼，把妹撩漢技能的反映射又是什麼呢？
我們說，剛才的兩個映射，一個是另外一個的反函數。
哇！這麼簡單？！太好了！
然而，事實是殘酷的。有時候，有些映射沒有反函數。
比如，大家想像下面這個場景。
在西十二樓的一個偏僻的教室裡，坐滿了一群人，他們在學習。但是，有一個座位非常刺眼——原來是兩位男同學坐在了一起！太辣眼了！華科真的這麼基情嗎？！
咳咳咳咳，不要這麼激動，我們來學術的看待這件事。
首先，我們要整體的把握，再局部的分析。
(1)有兩個集合。集合X是教室裡所有學生構成的集合；集合Y是教室所有座位構成的集合。
(2)目前這個狀態，可以用一個映射來描述：f: X---->Y。
這是一個滿映射（坐滿人），但不是一個1-1的映射（因為有兩位同學坐到一個位置上了）。
(3)讓大家激動的正是這樣映射f不是1-1的。（好搞笑，不是1-1的，激動個啥子喲，沒見識）
(4)回到反映射上來，這個映射f，就沒有反映射。因為其中一個座位上坐了兩個人，1對多是（做為映射）不允許的。
前方高能，一波抽象陳述實在沒法形象化，娛樂惡勢力饒了我。
一個映射的反映射。
首先從概念的本意講起。什麼是反映射，就說將原來的映射f：X-->Y的對應規則，反過來用，使之成為從Y到X的映射。
比如，貓那張圖裡的命名映射規則，反過來就是唱名函數。
比如，上面那個坐座位映射規則，反過來用，會出現一個座位對應2位同學的騷動事件。反規則不能成為一個映射，從而這個坐座位映射沒有反函數。
綜上，在談論一個映射的反函數時，我們至少需要這個映射是1-1的。
（從嚴格的數學來講，還需要這個映射是滿的。但是由於我們可以修改目標集合，使得新映射總是滿的，所以廣義的講，可以拋棄滿映射這個條件。）（不明白說什麼？那就跳過這段。）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊函數＊＊＊＊＊＊
函數是一類特殊的映射。
通常，我們把從實數集到實數集的映射，稱為一個函數。
所以要談論一個函數f的反函數時，首先要考察f是不是1-1滿的。
一個大家中學熟知事情是，函數與它的反函數的圖像，是關於直線y＝x對稱的。
這是怎麼來的呢？
舉例，畫一個單調遞增的函數，比如y＝x^3,
它的反函數，在圖像上來看是什麼意思？
（如果你能看明白圖片，那麼下面這一段可以跳過了。）
原來一點x0，被映射到y0=x0^3. 根據上面反函數的本意，它的反函數，是將y0映射成x0.
從圖像上來看，y軸變成了反函數的定義域，而x軸變成了反函數的值域所在。所以如果我們按常規的自變量因變量的擺放位置的話，應該將這張圖先繞原點逆時針旋轉90度，在左右翻轉。
這樣，我們將得到的反函數的「常規」圖像，與原來的函數圖像對比，就發現它們確實是關於直線y＝x對稱的。
＊＊＊＊＊反三角＊＊＊＊＊＊
那麼反正弦函數是怎麼定義的
先畫正弦函數的圖像
顯然，在自然定義域下，正弦函數不是一個1-1的函數。所以，在這個定義域下，正弦函數沒有反函數。
但是正弦函數有很好的對稱性和周期性，弄懂其中一小段，就弄懂了整個函數。
所以，有人將正弦函數限定在［-pi/2, pi/2］上，這樣正弦函數就可以有反函數了。
既然知道了反三角函數是上面這個函數的反函數，那麼這個反函數的對應規則就知道了。
什麼意思？
首先我們給這個反函數一個名字——arcsin(x).
其次，arcsin(x)的定義域是上面這個函數的值域，[-1,1]；值域是上面這個函數的定義域，[-pi/2, pi/2].
再次，arcsin(x0)就是正弦值位x0，且位於[-pi/2, pi/2]的一個弧度。例如arcsin(0.5)=pi/6.
類似的，我們討論
cos(x)在［0，pi］上的反函數arcos;
tan(x)在 (-pi/2, pi/2) 上的反函數arctan;
cot(x)在(0，pi) 上的反函數arcot.
反三角的一些恆等式，對應相應的三角函數的恆等式。
例如，arcsin(x)= arcos(\sqrt{1-x^2} ), 0<x<1
這個恆等式對應 正弦餘弦的平方和恆為1.
再例如，arcsin(x)+arccos(x)=pi/2, -1<x<1
這個恆等式對應 cos(pi/2-x) = sin(x).
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ps: 今天的推文在風格上有些大膽，做好被罵的心理準備。只是一個嘗試，看看反應。
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