反函數

喵喵眼中的反函數

     

     1. 一一映射

         若兩個集合A與B之間，有某種對應f: A-->B, 並且f是單射還是滿射，我們就稱這種對應是一個一一映射。這種一一映射，能將A與B的元素一一對應起來。

       例如，當你在對桌子上的10個橘子計數的時候，數學上，你的計數過程，就是一個一一映射：{1,2,3,...,10}----> {橘子}

    2. 一一映射的「自然」「反」映射

       既然f是一一對應，B和A就可以「重合」起來，B與A「地位」相同，自然的，可以從B到A有一個「自然」的對應。

       這個「」自然的對應，應該和f這個對應剛剛相反。就像青春期的時候，家長指東，你要向西，偏要反行之一樣。

       所以，如果f(a)=b, 那麼從B到A有一個「自然」的對應應該把B中的元素b，對應到A中的元素a.

    3. 逆映射

       如果f：A-->B是兩個集合之間的一個一一映射，那麼可以定義

                f -1：B-->A， f(a)---->a

        這個映射稱為f的逆映射。

       如果A和B均為實數集的子集，這時候我們稱f的逆映射是函數f的反函數。

    4. 函數與其反函數是一對形影不離的好朋友

        具體的如何理解反函數？比如，如何理解反正弦y=arcsin(x)？

        如果你對一個函數的反函數的對應不熟悉，那麼請回到原來的函數上來。

        例如，arcsin(1/2)=? 

        你可以令a=arcsin(1/2)，由反函數的定義知，sin(a)=1/2，且-pi/2<a<pi/2. 於是a=arcsin(1/2)=pi/6.

       反函數（特別是反三角）不是洪水猛獸，他與相應的三角函數式孿生兄弟。它不是獨立的。

    5. 只有一一映射，才能談它的逆映射

         例如，桌上有10個橘子，你是個顏控，用顏色來區分這些橘子。數學上是這樣一個映射c: {橘子}---->{金黃，橙，黃，淡黃，青黃，青，深青}

映射c顯然不是一一的。它沒有逆映射。

         如果你要強行構造c的逆映射

        g：{金黃，橙，黃，淡黃，青黃，青，深青} ----> {橘子}

很有可能g將「金黃」這個元素，對應了桌子上好幾個「橘子」。這就不符合映射「不允許1對多」的定義了。

      6. 函數與其反函數的一些有趣的事實

         互為反函數的兩個函數的圖象關於直線y=x對稱；

         一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；

         嚴格增(減)的函數一定有嚴格增(減)的反函數。

     7. 反函數的導數（用原來函數的導數來表示，才是真英雄）

         先說結果：假設f與g互為反函數，若f在x0處可導，則g在y0=f(x0)處可   導，且

           

       例如
      arcsin(x)在x0的導數，轉化為其反函數sin(x)的導數時，為什麼要在arcsin(x0)處求導？細細看上面反函數求導公式，y0=f(x0), g(y0)=x0.

        所以一個函數f的在一點x0的導數，等其反函數  f -1在f(x0)的導數的倒數。

         在來一個不是三角反函數的例子。

這個例子，默認e^x的導數已知。

8. 反函數與等價無窮小

          怎麼快速的理解 arcsin(x)~x (x-->0)?

          令 t=arcsin(x). 於是, x=sin(t), 且x-->0等價於t-->0

           一個熟知的事實是，t-->0時，sin(t)~t. 

            反帶回去，就有 x-->0時，arcsin(x)~x

      9. 反函數的近似值

          例如arccos0.4995

          管你什麼反不反函數，我就是要用微分強行計算一波。

   

總結：

反函數其實並不可怕，歸根到底也只是一個長的比較醜的函數而已。拿看一個函數的正常思維去看它，平等對待，加上適當的運算技巧，就可以輕鬆掌握了~

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