反函數的求導

2021-01-14 軒風

W3 Day5

例題：設y=f(x) 與 x=g(y)互為反函數，y=f(x)可導，且f'(x)≠0.f(3)=5,

h(x)=f[⅓g²(x²+3x+1)],

求h'(1)。


知識儲備：若兩函數f(x)、g(y)互為反函數，y0=f(x0)，則其中有f'(x0)*g'(y0)=1,如題中5=f(3),首先有3=g(5)，f'(3)*g'(5)=1;


解：由y=f(x)可導，所以h(x)作為f(u)形式的函數同樣可導

h'(x)=f'(u)u'=f'[⅓g²(x²+3x+1)]*[2*⅓*g(x²+3x+1)*g'(x²+3x+1)*(2x+3)]  

//後半部分求導為

[g²(v)]'=2g(v)g'(v)*v'


當x=1時，x²+3x+1=5，2x+3=5

[⅓g²(x²+3x+1)]=[⅓g²(5)]=[⅓*3²]=3

所以

原式=f'(3)*[2*⅓*g(5)*g'(5)*5]

      =f'(3)*g'(5)*2*3*⅓*5

      =10

解答完成



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