談談:「加法」「乘法」與「複合函數」求導中美妙的幾何原理

2021-01-10 電子通信和數學

導數是微積分的基礎，前面介紹了單個函數求導的幾何意義，本篇介紹，加法求導，乘法求導，複合函數求導的幾何意義。

假設f（X）=sin（X）.X^2, f（X）函數幾何圖形如下

隨著X的變化sin（X），X^2都在變，乘積在sin（X）=1時達到最大

如果長度增加dsin（X），高度增加dX^2，那麼整個圖形增加的面積就是：

右下角那一小塊的面積實在太小，可忽略不計，整理就變成如下式子

由此形成了函數乘積求導的通用形式

我們來看複合函數求導的幾何原理：例如

我們畫出三條軸，第一條是X, 第二條是X^2，第三條是sin（X^2），所以X移動時，其餘兩條軸上的指針也在變

為了直觀，設h=X^2，所以X變化dx時，X^2變化dh，sin（h）變化dsin（h）

我們將X^2帶入，就得到完整的dsin(X^2）導數

上述的圖示直觀顯示了X微小變化時，各種微小量發生了什麼樣的變換，最後得到：

我們再來看加法求導的幾何原理：

例如sinX+X^2圖形，黃色線是疊加後的圖形

在0.5處移動微小的dx，那麼疊加後的圖形增加量就是它們各自增加量的疊加

所以加法函數的導數就是

以上就是對，乘法求導 複合函數求導 加法求導的幾何原理描述

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