許多人可能聽過那個關於2的63次方的故事。
有一個國王與大臣下棋，棋盤上有64個方格。國王與大臣打賭：只要贏了我，滿足你一個要求。最終大臣獲勝，並提出了一個看似非常簡單的要求：
在第1格裡放1粒麥子，在第2格裡放2粒麥子，在第3格裡放4粒麥子，在第4格裡放8粒麥子，依次類推。
起初國王不以為意，最後一算，還不到40個格子，他的國庫就空了。
真是不算不知道，一算嚇一跳，2的63次得多少麥子啊！
下面，我們把它寫成一個函數表達式：
然後繪出它的一段函數曲線，如下圖：
.
如果我們把函數f(x)=2^x的曲線看做一個物體的運動軌跡，分別賦予X軸和Y軸計量單位秒s和米m。我們可以計算得出，它的速度增加得特別快，不到第19s就超光速了。
為什麼它會有如此大的增速呢？
我們來分析一下物體運動的內在驅動。
對函數f(x)=2^x一階求導，可以得到即時速度v，
對函數f(x)=2^x二階求導，可以得到即時加速度a，
我們還可以繼續對它進行三階、四階求導，直至N階求導，得到加速度的加速度、加速度的加速度的加速度，直至第N重加速度
N層加速度的值差不多是相同的，這樣，速度v可以大到無窮了。
停止討論它的速度有多快，我們來描述一下，在一個時間段內，怎麼樣用N重加速度（N階導數）來重塑它的位移公式？
假設，從時間點t開始，到時間點x結束。位移S=f(x)-f(t)。
把位移S分解成N份，得
其中：
S1是t點的初始速度f'(t)完成的，它的微分是f'(t)*△x，我們把△x寫成(x-t)/n。然後，我們要問，S1和f'(t)*(x-t)是否存在線性比例關係呢？我們先假設它們之間是線性比例關係，於是可以得
S2是t點的第一重速度f''(t)產生的速度增量完成的，它的微分是f''(t)*△x^2，同理，得
同理，得
於是，
把f(t)移到等式右側，得
這樣的話，是不是可以把函數f(x)拆解成它在x=t時的N階導數與(x-t)構成的多項式呢？
我們來另起爐灶。設存在一個多項式函數
如果g(x)=f(x)，那麼就有
由g(t)=f(t)，得
由g'(t)=f'(t)，得
所以，
由g''(t)=f''(t)，得
所以，
對g(x)逐次求導，可得
這樣，我們就把函數f(x)拆解成在x=t時的n階導數與(x-t)構成的多項式了，得：
泰勒公式
當t=0時，又得
麥克勞林公式
兩式之所以寫成約等於「≈」，是因為右側是一個無窮級數，第n項並不是無窮的終點，還可以有第n+1項及其之後的無窮項。前提是這個無窮級數必須是收斂的，這和最開頭的例子恰恰是相反的。那麼，有n的階乘n!做分母，項數越大，該項的計算結果越小，誤差會非常小，我們就不做討論了。
當把一個函數用麥克勞林公式展開後，我們會發現，如果一個函數的特殊值不好求解，可以把它轉換成一個多項式函數，然後用最基礎的計算方法（加、減、乘、除）就可以了。
例如，我們要計算對數ln2=?（別用計算器啊）
先選擇一個待轉換的基本函數f(x)=lnx。但它一階導 數f'(x)=1/x，當x=0時，就沒有意義了。
那我們換一個函數f(x)=ln（1+x）試一下。當x=0時，f(x)=ln1，還是沒法計算。我們注意到f(x)=ln（1+x）的導數是1/（1+x）。那我們不妨先推導一下它的導函數f(x)=1/（1+x）的麥克勞林展開式。
對於函數f(x)=1/（1+x），它的一階導數到N階導數分別為：
當x=0時，
於是得：
要使多項式是收斂的，那定義域取x∈（-1，1）。
對導函數求積得到原函數，那麼，對導函數的展開式求積，也就得到了原函數的展開式。對上式在區間0到x上逐項求積，得：
然後，我們就得到了：
我們考查一下右側的多項式，第五、六項分別是1/5和-1/6，用這個多項式計算，不僅項數多而且誤差還比較大。
因為式中的x都是指數形式，當取值x<1時，才會項數越多誤差越小。那我們就才轉換一下，把式中的x變成一個小於1的數。
先用-x替換x，重寫一遍ln（1+x）的展開式，得：
那麼，
令（1+x）/（1-x）=2，得x=1/3。
把x=1/3代入最後一個展開式，得：
其中，1/3≈0.33333，(1/3)*(1/3)^3≈0.01235，(1/5)*(1/3)^5≈0.00082，(1/7)*(1/3)^7≈0.00007。
從結果的趨勢看，前四項累加，計算的精度已經足夠高了。
於是得：ln2≈2（0.33333+0.01235+0.00082+0.00007）=0.69314。