歷久彌新的拿破崙定理,還有令人回味的新發現

2021-01-08 中學數學精準輔導

英國首相邱吉爾曾說過一句極端個人崇拜的話:「世界上沒有人比他更偉大。」 德國大哲學家黑格爾甚至說:「世界之所以平衡,是因為有上帝的存在,歐洲的天秤之所以保持平衡,是因為有他,他就是神的存在。」他的名字叫拿破崙。對於法國人來說,這個婦孺皆知的名字是他們的驕傲。

(一)傳奇的一生

拿破崙出身於科西嘉島。1793年,24歲的拿破崙在土侖戰役中嶄露頭角,打了一個大勝仗。

「誰在土侖打勝仗啦?」法國人都在問。

「炮兵上尉拿破崙波拉巴。」知道情況的法國人驕傲地回答。

「我們從來沒聽過這個名字。拿破崙長得什麼樣子呀?長得一定挺帥的吧。」太太小姐們問。

「不,拿破崙是個矮子。」

一夜之間,拿破崙就成了家喻戶曉的英雄。拿破崙是個天才的軍事家,在接下去的幾次戰役中,拿破崙所向披靡,風頭出盡。當他指揮著法國部隊翻過阿爾卑斯山時,他已赫赫有名,並登上法蘭西第一帝國皇帝的寶座。他幾次打垮了歐洲的封建君主們的反法聯盟,並把大半個歐洲置於他的帝輦之下。

1812年,法國軍隊踏進了莫斯科。然而鋪天蓋地的暴風雪,把躊躇滿志的拿破崙的美夢壓碎了。面對堅壁清野的俄國人,法國兵陷入了饑寒交迫的絕境。而當法國兵退出空城莫斯科時又遭到俄國名將庫圖佐夫的毀滅性打擊。不久,失敗的拿破崙被流放到厄爾巴島。據說他此時寫了一段回文:「ABLE WAS I ERE I SAW ELBA。」(可譯為:在我看見厄爾巴之前,我可是非常能幹的。——我想,這或許是好事者為之,並非出自拿破崙的手筆。)不久,他又復闢,但又在滑鐵盧打敗了(這次又是電閃雷鳴、暴雨如泣的惡劣天氣幫了他的對手的忙。)拿破崙又被流放到聖赫勒鈄島,1821年死於慢性砷中毒。拿破崙臨死前曾說:「我一生四十多次勝仗的光榮,被滑鐵盧一戰就抹去了,但我有一件功績是永垂不朽的,這就是我的法典。」

在他多彩傳奇的經歷中,還應該關注如下大事:

1797年12月25日,拿破崙被選上法國科學院院士,這不僅是名副其實的院士,也是最耀眼的院士。拿破崙當時就說出一句流傳至今的曠世名言: 「真正的徵服,唯一不使人遺憾的徵服,就是對無知的徵服。」成為法蘭西學院院士,拿破崙也成為科學家的知音,給科學家撐腰。

拿破崙曾說:一個國家只有數學蓬勃發展,才能展現出它國力的強大。他認為,人才培養的關鍵是教育。

1802年至1808年,他頒布了一系列法令,確立了法國精英制大學校的高等教育模式,旨在培養理論聯繫實際、既有知識又有應用技術的人才。實際上,目前法國最好的兩所精英大學——巴黎綜合理工學院(cole Polytechnique)和巴黎高等師範學校(cole normale supérieure de Paris,),就是在拿破崙時代組建的。

我們來看看拿破崙對人才有多重視。1814年,當反法聯軍兵臨城下,法國兵員短缺,有人提議調巴黎理工學校的學生參加戰鬥時,拿破崙說:「我不願為取金蛋而殺掉我的老母雞。」這句名言後來被鐫刻在巴黎理工學校梯型大教室的天花板上。

可以說拿破崙不僅是政治和軍事天才,還是科學家,並與眾多科學精英結下不解之緣。拿破崙時代,法國科學人才輩出、群星燦爛。今天名字被刻在巴黎艾菲爾鐵塔上的七十二位法國科學家與工程師,幾乎都是拿破崙時代的。那時,法國實力超過了英國,成為了當時世界上的頭號科技強國。

由於他的幾何與三角都學得相當好,在絢麗的數學大花園中,就開著一朵以他的名字命名的小花---拿破崙定理,具體表述如下

以任何三角形ABC的三邊為邊向三角形外側(或內側)作正三角形ABC′、BCA′、CAB′,這三個正三角形的中心分別為P、Q、R,則△PQR是正三角形。當所作三個正三角形在△ABC外側時, △PQR稱外拿破崙三角形;而當它們位於△ABC內側時,則稱內拿破崙三角形。

這一定理可以等價描述為:若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形,則它們的中心構成一個等邊三角形。

拿破崙三角形還可作如下推廣:以△ABC的三邊為邊分別向三角形外側作三個相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA,(相似三角形的頂點對應排列)這三個三角形的外心為 P、Q、R,則△PQR也與這三個三角形相似。

外拿破崙三角形即為此題之特例,這只要讓三個相似三角形是正三角形即可。

這題的證法與前面類似。利用高中三角知識還可證明:三角形的面積等於它的外、內拿破崙三角形面積之差。

(二)精彩的定理證明

方法一:證明:作△ACF、△BCE、△ABD的外接圓相交於O。

∵A、O、C、F四點共圓,B、O、C、E四點共圓、A、O、B、D四點共圓,

又∠AFC=∠BEC=∠ADB=60°(等邊三角形的意義),

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°(圓內接四邊形的對角互補)。

∵⊙Q和⊙R相交於O、C,⊙R和⊙P相交於O、A,

∴ OC垂直平分QR,OA垂直平分PR。

∴∠OMR=∠ONR=90°,

∴∠R=60°。

同理可證 ∠Q=60°,∠P=60°。

∴△PQR是等邊三角形。

方法二:

方法三:

方法四:

(三)美妙的定理推廣

關於拿破崙定理最著名的推廣當屬道格拉斯-紐曼定理。在敘述這個定理之前,讓我們再從另一個角度重複一遍拿破崙定理:

任取一三角形,以三邊為底向外各作一個頂角為120度的等腰三角形,這三個等腰三角形的頂點則構成一個等邊三角形。

如果我們把三角形換成任一多邊形,以各邊為底作適當的等腰三角形,然後再連接這些等腰三角形的頂點得一新的多邊形。這種幾何變換重複下去就可得到道格拉斯-紐曼定理

任取一n邊形,以它的n條邊為底向外各作一個頂角為2pi/n的等腰三角形,聯接這些等腰三角形的頂點得到一個新的n邊形。再以此新的n邊形的邊為底向外各作一個頂角為4pi/n的等腰三角形,聯結它們的頂點得到第三個n邊形。類似地作下去,每次將所構等腰三角形的頂角增加一倍,n-2步後所得n邊形必為一正n邊形。(註:但是當頂角2ppi/n大於180度時,轉而向n變形內構造頂角為2(n-p)pi/n的等腰三角形。)

以下為n=5時的例子:

而n=3時,以上定理就是拿破崙定理。

以上所述是道格拉斯-紐曼定理的簡化,實際內容比這要豐富得多,證明方法主要是線性代數。有興趣的同學可以自行學習,在此不再贅述。

概括簡單的說拿破崙定理有一些引申:

1)四邊形上,類似的定理為凡奧貝爾定理。

2)拿破崙定理本身為佩特諾-紐曼-道格拉斯定理的特例。

3)內拿破崙三角形的面積大於等於 0 給出外森比克不等式。

如今,拿破崙定理常用於城市規劃領域。利用拿破崙定理可為任意形狀的市區科學地確定新建發展中心區的位置。該方法可合理組織人流、物流,使城市土地的利用率 ,建築的使用效率達到最佳,因而在城市建設規劃中具有很好的應用價值。

雖然和平時代的我們,已經不可能像拿破崙那樣殺伐四方,讓整個世界為之顫抖,但是拿破崙仍然是想要實現人生價值的我們最好的精神導師:幾經挫折,絕不氣餒,堅持夢想,銳意進取,沒有什麼不可能。他也是我們最血淋淋的教訓:我們要堅持夢想,但不能被夢想所傷。

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