《全微分》內容總結、題型與典型題

2021-03-01 考研競賽數學



1.全增量與全微分的基本概念

設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義,(x,y)為該鄰域內的任意一點,記x=x0+△x,y=y0+△y,則自變量(x0,y0)變化到(x,y)的全增量

如果函數z=f(x,y)在點(x0,y0)可微,則函數的全增量可以表示為

其中A,B是與自變量的增量△x,△y無關的量,並且把去掉無窮小量的部分稱為函數的全微分,並記作dz,即有

2.函數可微的必要條件與充分條件

必要條件:

並且可以推出z=f(x,y)在點(x0,y0)的全微分為:

但函數在某點處偏導數存在,函數不一定可微.

【注】全微分為切平面函數(線性化函數)的函數值的增量.

 

充分條件:函數在某點處兩個偏導數連續,則函數在該點可微. 但函數在某點處可微,偏導數在該點不一定連續.

 

3.偏導數與偏微分

設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義,(x,y)為該鄰域內的任意一點,記x=x0+△x,y=y0+△y,則函數關於x,y變量的偏增量相應的偏微分

由於它們其實就是一元函數的基本結論,因此對於偏增量也有相應的對於x變量,對於y變量的朗格朗日中值定理,即

4.疊加原理

全微分等於所有偏微分之和,即有

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