發現新素數,你也可以丨科學史

2021-01-20 中科院之聲

2018年12月21日，一位名叫派屈克·羅什的美國人參與「網際網路梅森素數大搜索」項目（GIMPS）並成功發現第51個梅森素數282589933-1，它含有24862048個數位。梅森素數是以法國數學家馬林·梅森（Marin Mersenne，1588～1648）的名字命名，數百年來人們始終在尋找更大的梅森素數，這究竟是為什麼？小G將為你揭曉答案。


GIMPS官網截圖

 

要了解梅森素數，首先要知道什麼是素數？早在約公元前300年成書的歐幾裡得所著希臘數學經典《幾何原本》中說（定義VII.11）：素數是只能為一個單位所量盡者，即除了1和它本身以外，再無正整數約數的數稱為素數（或質數），第1個素數是2，否則為合數。


歐幾裡得


任何大於1的整數，要麼本身是素數，要麼可以唯一地寫成若干素數乘積，可以說素數是構造整數大廈的磚石。自古希臘時代，尋找素數一直是人們所關注的問題，古希臘數學家埃拉託塞尼（Eratosthenes，約前276～約前195）早已給出著名的「埃拉託塞尼篩選法」。


埃拉託塞尼


若用該法找出100以內所有素數，仿下圖畫一個10×10的表格，填上1～100. 首先1不是素數，划去；保留素數2，將其所有倍數划去；接著留素數3，將3所有倍數划去，已經被划去的不用管；緊接3後未被划去的是5，保留5並將其倍數划去；緊接5後未被划去的是7，進行同樣操作，此時表中未被划去的36個素數為所求。事實上100的平方根10中僅有4個素數，將它們的倍數全部划去即可，該性質可被證明並推廣——要篩選出整數n內所有素數，只需將內所有素數的倍數划去。


埃拉託塞尼篩選法


素數分布有一明顯特點——隨著數值增大，素數越來越少。這很容易解釋，較小數字可能因子少，較大數字可能因子多，也就越不可能是素數。1~100中，有25個素數；而10000001~10000100這100個數中，只有2個素數。素數會不會有盡頭呢？《原本》（IX.20）中已證明素數無窮無盡。


徐光啟與利瑪竇合譯《幾何原本》（1607）首頁


認識梅森素數，還需了解「完全數」，《原本》定義（VII.22）相當於：完全數等於其所有真因子之和的數，如6（=1+2+3）是完全數。古希臘人認為完全數代表吉祥，會帶來幸福和美好！《原本》（命題IX.36）給出尋找完全數的方法：若是素數，則是完全數。古希臘人在公元1世紀以前就知道前4個完全數——6，28，496和8128，第5個完全數到15世紀才被發現，關鍵在於尋找形如的素數，這就是梅森素數。



1644年梅森在其所著《物理-數學探索》序言中說：當p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257這11個數時，為素數，並證明了前7個數，後面4個數字計算量太大而沒有驗證，該猜想引起學界極大關注。為紀念他，人們把型的素數稱為「梅森素數」，並以記之（其中M是梅森姓氏首字母）。


梅森


此後無數學者都進行過研究，1772年瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了為素數；1876年，盧卡斯證明了為素數。1903年，美國數學家科爾在紐約一次數學會議上做了精彩的「無聲報告」，他走上講壇寫下：頓時全場響起了經久不息的掌聲，不是素數！梅森的猜想有誤！1922年，也被驗證不是素數！梅森猜想被解決，但人類並沒有停止尋找新梅森素數的腳步。


歐拉


雖形式簡單，但探究需要高深理論和艱巨計算，至1920年代，人們通過手算艱辛地找到12個梅森素數。計算機的出現，加快了探尋的步伐。1952年，人們將以往的算法編譯成電腦程式，在幾小時內就找出了5個新梅森素數，自此探尋梅森素數也成為檢測計算機性能和相關算法的有效手段。網際網路時代產生的分布式計算技術可有效利用網際網路空閒計算能力，這使探尋工作如虎添翼，1996年美國數學家沃特曼編寫了一個尋找梅森素數程序放在網上供大家免費使用，這就是本文開頭的GIMPS項目。1952年至今，計算機共找到39個梅森素數，最新的17個全歸功於GIMPS！目前全球有近70萬人參加該項目，來吧，你可能就是下一個發現者！


部分梅森素數發現概況


來源：中國科學院自然科學史研究所


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