Sin1° 是否為超越數?反正過來明顯就是有違常理啊!

2020-12-03 百家號

Sin1° 是否為超越數？反正過來明顯就是有違常理啊！(sin1°)^2=1-cos^2 1°，所以 只要1°的餘弦是代數數，則正弦也是代數數。所以這就簡單了啊，根據棣莫弗定理，cosnx+isinnx=(cosx+isinx)^n

進行二項式展開，其中sinx的偶次項不含i，而奇次項含i，因為cosnx不含i，因此cosnx可以寫成一個關於cosx和sinx的多項式，而又因為sinx一定是偶數次項的，可以寫成1-cos^2x

所以馬上可以將任何cosnx展開成一個關於cosx的多項式，令n=60，因為cos60°是一個關於cos1°的整係數多項式，所以cos1°一定是代數數，所以sin1°也是代數數。

反證嘍，假如sin1是超越數。那麼 cos1同時也是 （1-sin1^2）^1/2，sin2 sin3 直到sin90 都是推理出非代數數這個明顯是有違常理的

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