sin1° 是否為超越數?

2021-02-20 數學中國

Q：

sin1° 是否為超越數？

sin1° 似乎不能用連根號表示，因為根號內有虛數。

A：

錯，他就是個代數數，sin 1° 是下列48次方程的第25個根

0 = 1-3456 x^2+579456x^4

-39625728x^6+1497954816x^8-35782471680x^10+583456329728x^12-6832518856704x^14+59570604933120x^16-397107008634880x^18+2064791072931840x^20-8500299631165440x^22+28011510450094080x^24-74448984852135936x^26+160303703377575936x^28-280058255978266624x^30+396366279591591936x^32-452180272956309504x^34+411985976135516160x^36-295364007592722432x^38+162828875980603392x^40-66568831992070144x^42+18999560927969280x^44-3377699720527872x^46+281474976710656x^48

而且誰 tm 告訴你虛數不是代數數的....

虛數難道不是解方程解出來的?

這是個代數數，然後三倍角公式展開 

代數數的根還是代數數. QED

順便 π的有理倍取值都是代數數，但是對於任意非零代數數，正弦值總是超越數.

本文轉自醬紫君（知乎）
https://www.zhihu.com/question/290982731/answer/473463543

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