一直有個疑問，就是預應力同心管柱的屈曲荷載能否提高？能否超過歐拉臨界荷載？最近鼓搗了一下，答案是否定的，即預應力不能提高同心管柱的屈曲臨界荷載。
本文所指預應力同心管柱是：鋼管中穿有鋼索且二者中心重合，對鋼索施加預應力，使鋼索受拉並使鋼管受壓，且假定鋼索與鋼管密貼但可在鋼管內滑動，然後錨固在鋼管兩端，形成預應力索和鋼管同心的自平衡組合構件—簡稱預應力鋼管。屈曲荷載指構件失穩時的極限荷載，與歐拉臨界荷載意義相同。
1.理論推導及結論
歐拉臨界荷載公式的推導如圖1所示，材料力學中都有此推導過程。
預應力鋼管的屈曲荷載推導時，取圖2的隔離體。要注意的是：鋼索張力和鋼索致鋼管壓力是一對作用力和反作用力，圖2中假定為豎向，若假定與軸線相切更準確，但結果相同。
截面控制方程推導過程（感謝效松教授的指導）如圖3所示，推導過程中鋼索和鋼管同心，且鋼索與鋼管密貼（也可假定採取工程措施達到此假設），其餘與歐拉公式推導過程相同。
推導結論：預應力同心管柱的屈曲荷載與預應力無關，與歐拉臨界荷載完全一致。
2.ANSYS特徵值屈曲和大變形非線性分析
為驗證上述理論推導的正確性，採用如下模擬方法：
（1）鋼管採用梁單元BEAM189模擬（BEAM188也可），鋼索採用LINK180模擬。
（2）鋼管和鋼索密貼條件，也就是兩個構件單元節點的橫向位移相同（豎向建模），即在橫向耦合自由度（本例為UX）；但其餘方向不能耦合自由度（如UY），也就是鋼索可以在管內滑動，且不考慮二者摩擦。但鋼管兩端點與對應的鋼索端點需完全耦合。
（3）為簡單起見，只做面內分析，即約束面外的平動位移自由度（本例為UZ）。
（4）為達到張拉預應力值（ANSYS之LINK180施加預應力及生死單元應用），需先進行靜力分析的試算，以保證計算完成後鋼索的預應力為張拉應力，如例子中的張拉係數tcoef=1.0479312。
（5）在進行特徵值屈曲分析時，因ANSYS屈曲荷載=特徵值屈曲係數×所有荷載，這個所有荷載當然包括初應變或施加預應力的降溫荷載，因此也要不斷更改外荷載（如本例中的P0）試算幾次，確定外荷載增大係數（如HZXS=12.83644），進而在特徵值屈曲分析完成後，特徵值屈曲係數=1，也就是ANSYS屈曲荷載=1.0×(HZXS×P0)。
（6）在非線性分析中，即所謂的非線性屈曲分析，按第一階特徵值屈曲模態施加1/10000的缺陷，即柱中位置設有0.8mm的側向彎曲（可以用NLIST查看）。
（7）非線性分析前，必須刪除原來的外荷載。因在特徵值屈曲分析時，豎向荷載是特徵值屈曲荷載，如果忘記刪除，會造成荷載的動蕩。如本例在模型更新後執行了「FDELE,ALL,ALL」命令。
（8）本例屈後僅計算了一部分，僅為驗證理論。如果需要，可以接著繼續計算屈後行為，不收斂時可採取相應的求解措施，此文略過。
（9）在屈前和剛過屈後求解過程中，鋼管應力和鋼索的應力都不大，均未達到塑性狀態；隨後隨著位移的增大，應力會超過材料的屈服點，但本例只進行了幾何非線性分析。眾所周知，特徵值屈曲分析不考慮任何非線性行為；非線性屈曲分析時，應考慮幾何非線性和材料非線性，在本例中增加材料本構，便可得到自平衡預應力鋼管的極限荷載。
圖4為計算模型和荷載-位移曲線計算結果，圖5為不同荷載下的變形過程。命令流如下所示。
本例的歐拉臨界荷載為128865.5N；預應力鋼索張拉應力為800MPa，ANSYS特徵值屈曲荷載為1.0×12.83644×10000=128364.4N，與歐拉臨界荷載的誤差不足4‰。而非線性屈曲的拐點位置在12.8~12.9之間，也非常接近歐拉臨界荷載。
ANSYS的特徵值屈曲分析和非線性屈曲分析也表明，預應力同心管柱的屈曲荷載與預應力無關，與歐拉臨界荷載完全一致。
FINISH$/CLEAR$/FILNAME,YYLJZZ
/PREP7$H=8$RI=0.05$RO=RI+0.008
SIGY=800E6!預應力筋張拉應力
AY=140*1E-6!預應力筋面積
PI=ACOS(-1)$EMOD1=2.1E11
EMOD2=1.95E11
LPX=1E-5!線脹係數
AG=PI*(RO**2-RI**2)
IG=PI/4*(RO**4-RI**4)
PCR=PI**2*EMOD1*IG/(H*H)
GSIG=800E6*AY/AG!預應力引起的管應力
TCOEF=1.0479312!張拉係數(試算)
TT=SIGY/EMOD2/LPX*TCOEF!降溫值
P0=10000!施加初始的豎向荷載
K,1$K,2,,H$K,3,1$K,4$K,5,,H$L,1,2$L,4,5
ET,1,BEAM189$ET,2,LINK180
MP,EX,1,EMOD1$MP,PRXY,1,0.3
MP,EX,2,EMOD2$MP,PRXY,2,0.31
MP,ALPX,2,LPX
SECTYPE,1,BEAM,CTUBE$SECDATA,RI,RO
SECTYPE,2,LINK$SECDATA,AY
LSEL,S,,,1$LATT,1,,1,,,3,1!柱劃分
ESIZE,0.25$LMESH,ALL
N1=NODE(0,0,0)$NTOP=NODE(0,H,0)
NSEL,NONE!索劃分
LSEL,S,,,2$LATT,2,,2,,,,2
ESIZE,0.25$LMESH,ALL$N2=NODE(0,0,0)
N3=NODE(0,H,0)$ALLSEL,ALL
!頂底耦合起來
CP,NEXT,UX,N1,N2$CP,NEXT,UY,N1,N2
CP,NEXT,UX,NTOP,N3$CP,NEXT,UY,NTOP,N3
!其餘耦合UX
NSEL,ALL$NSEL,U,LOC,Y,0
NSEL,U,LOC,Y,H$NSEL,R,LOC,X,0
CPINTF,UX$NSEL,ALL
!約束上、下端及所有UZ
D,N1,UX,,,,,UY,ROTY
D,NTOP,UX$D,ALL,UZ
!預應力定義
ESEL,S,TYPE,,2$BFE,ALL,TEMP,,-TT
ALLSEL,ALL
!特徵值屈曲分析
/SOLU$ANTYPE,0
HZXS=12.83644!荷載係數
PSTRES,ON
F,NTOP,FY,-P0*HZXS
SOLVE$FINISH
/SOLU$ANTYPE,1
BUCOPT,LANB,1$MXPAND,1,,,YES
SOLVE
!幾何非線性分析
FINISH$/PREP7$ DETA=0.8/1000
!施加0.8MM的缺陷，即萬分之高度缺陷
UPGEOM,DETA,1,1,YYLJZZ,RST
FDELE,ALL,ALL!刪除原荷載
/SOLU$ANTYPE,0$NLGEOM,ON
OUTRES,ALL,ALL$NSUBST,10$ALLSEL,ALL
TIME,1$SOLVE!僅預應力
!外荷載
TIME,12$NSUBST,100,,50
F,NTOP,FY,-12*P0$SOLVE
TIME,13$F,NTOP,FY,-13*P0$SOLVE
TIME,100$NSUBST,200,,100
F,NTOP,FY,-100*P0$SOLVE
/POST26$NSOL,2,NTOP,U,Y
PROD,3,2,,,,,,-1$XVAR,3$PLVAR,1
NMID=NODE(0,H/2,0)
NSOL,4,NMID,U,X$XVAR,4$PLVAR,1
綜上所述，預應力同心管柱的屈曲荷載與歐拉臨界荷載一致，不會因為預應力而提高鋼管的屈曲荷載。但有趣的是，從推導過程（也可數值模擬）可知，在預應力同心鋼管裝配過程時，無論預應力多大，鋼管都不會失穩直到材料屈服。