材料力學知識點:歐拉公式推導過程

2021-01-14 材料力學與結構力學

（1）基本理論

①臨界力是杆件在原有直線位置保持平衡狀態最大荷載，也可以說是杆件在微彎曲線位置保持平衡的最小荷載。

②臨界力作用下，幹擾力使杆件微彎，當幹擾力撤去，在臨界平衡狀態下，保持後來平衡狀態的原因是臨界力在截面上產生的彎矩形成平面彎曲繞曲線來保持後來平衡狀態，由對微小的彎曲變形撓曲線滿足撓曲線近似微分方程。


（2）推導

舉兩端鉸支細長壓杆

①令

解y=Acoskx+Bsinkx 

②引入邊界條件

x=0，y=0代入得A=0

x=l，y=0代入得Bsinkl=0

若B=0，y=0則不滿足要求

若sinkl=0，kl=nπ（n=0,1，…）

③

當n=1時，


（3）變化過程

①當P＞Pcr時，在臨界平衡狀態時，由於產生的彎矩較大，變形要增大，會遠離臨界平衡狀態，y增大，進而彎矩繼續增大，就會一直遠離。

②當P＜Pcr時，在臨界平衡狀態時，由於產生的彎矩較小，變形要減小，會往原有平衡狀態靠近，y減小，進而彎矩繼續減少，就會回到原有平衡狀態。


（4）結論

①歐拉公式的適用範圍：由於歐拉公式是根據撓曲線近似微分方程建立的，而該微分方程只在小變形以及材料服從胡克定律的前提下才能成立，因此前提條件為杆中應力不超過材料的比例極限。

②壓杆總是先在它抗彎能力最小的縱向平面內失穩，即應取壓杆橫截面的最小形心主慣性矩，，即最小截面處或某一慣性矩最小值。

③壓杆失穩時的撓曲線，B是的撓度，中點的撓度B=f充分的小，但無法確定值，它隨幹擾大小而異。


（5）推論

①杆兩端有壓力發生了微彎就會發生彎矩保持的翹曲y=Acoskx+Bsinkx。

②通過支承條件的引入，其臨界平衡狀態為半波正弦曲線，許多個P都能保持同一個曲線。

③P只能選最小的為Pcr，取倒數第二小的將會是Pcr的好幾倍，實際上不符合的。

④幹擾力來確定振幅，就能完全臨界平衡狀態下的撓曲方程了。


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