黎曼猜想到底有沒有被證實?同行似乎並不買帳

2020-11-23 騰訊網

9月24日，一位著名的數學家宣稱自己解決了黎曼猜想——一個懸而未解近160年的關於質數分布的難題。這一天，在德國舉行的海德堡獲獎者論壇上，愛丁堡大學的名譽教授麥可·阿提亞（Michael Atiyah）做了一場45分鐘的演講，展示了一個被他自己描述為「簡單證明」的成果，這個證明所依賴的工具是來自於一個看似不相關的物理問題。然而，很多專家對這個證明的有效性表示了懷疑，特別是89歲高齡的阿提亞近年來多次犯了錯誤。

「他展示的內容不太可能是我們所知的黎曼猜想的證明，」 曾經研究過黎曼猜想的挪威科技大學經濟學家喬爾根·維斯達爾（J?rgen Veisdal）這樣說，「它太過模糊和不具體了。」維斯達爾補充說，他需要仔細研究一下書面證明方能給出最終的判斷。

9月24日，麥可·阿提亞在海德堡獲獎者論壇上做演講 | Heidelberg Laureate Forum Foundation

黎曼猜想是最後的偉大數學未解難題之一，於1859年由德國數學家波恩哈德·黎曼提出。它是一個關於質數的假說。質數就是2、3、5、7、11這樣的數，它們只能被1或者它自己整除。在實數軸上，隨著數值的增大，這些質數出現的頻率不斷降低，相鄰兩者之間的距離越來越大。黎曼發現，理解質數分布規律的關鍵在於這樣一個數集：黎曼ζ（念做「澤塔」）函數的所有零點，或者說ζ(s)=0時s的值。這裡的s是一個複數，擁有實部和虛部。在這些零點的基礎上，他發明了一個公式，可以計算一定數字範圍內到底有多少是質數，還有這些質數之間的間隔有多大。

然而，黎曼這個公式成立的前提是：ζ(s)=0時的所有s的實部都是1/2。黎曼本人證明了在前幾個質數身上，這個性質是正確的；在過去的一個世紀中，人們用計算的方法證明了這個特性對於很多大值質數同樣成立。但是，還沒有人能以正式的、嚴謹的證明來說明這個性質永遠成立，直到無窮。成功的證明不僅能獲得克萊數學研究所為7個「千禧大獎難題」設立的100萬美元的獎金，還能將其應用在對質數的預測上，這對密碼學來說有著重大意義。

黎曼於1859年的手稿 | the State and University Library at G?ttingen

作為其研究領域的巨擘，阿提亞在幾何學、拓撲學和理論物理學上都做出了傑出的貢獻。他於1966年獲得了菲爾茲獎，2004年獲得阿貝爾獎，橫掃數學領域兩個巔峰獎項。儘管阿提亞的職業生涯長且多產，他在關於黎曼猜想的聲明前的最近幾年中，成果表現卻大都不盡如人意。

2017年的時候，阿提亞告訴《時代》雜誌倫敦分部說，自己對法伊特-湯普森定理（Feit-Thompson Theorem）做出了極大的簡化。法伊特-湯普森定理是一個群論的抽象理論，於1963年被首次證明，化簡前的證明足足有255頁，阿提亞的簡化版只有12頁。然而，當他把自己的證明發給了15位相關領域的專家後，得到的反饋要麼是質疑，要麼是沉默，而這個證明最終沒有正式發表。此前一年，阿提亞將一篇論文預印本貼在了arXiv上，聲稱自己解決了微分幾何學中的一個著名難題，但同行們很快指出了他所用方法中的若干不準確，這個證明也沒有正式發表。

《科學》聯繫了數位阿提亞的同事。他們認為，阿提亞在退休後又決定復出，還基於不可靠的聯繫而提出證明，這件事情值得擔憂；同時，他們認為這個黎曼猜想的證明不太可能成功。但是因為害怕影響關係，沒有人想公開批評他們的導師或同事。加利福尼亞大學河濱分校的數學物理學家約翰·貝茲（John Baez）是少數幾個願實名對阿提亞的說法提出批評性言論的人之一。「（他的）證明只是一個令人印象深刻的主張疊加在另一個主張上面，而沒有任何連接性的論據或真正充分的論證，」他說。

麥可·阿提亞 | webdelmaestrocmf.com

阿提亞自己似乎並不擔心。「觀眾裡有無所畏懼而聰明的年輕人和博識的的長者，」阿提亞在他的演講之前的一封電子郵件中寫到。「我正在把自己扔給獅子，但我希望自己能夠毫髮無損。」據阿提亞說，他的證明和他的論文副本在網上流傳，促使他同意做這個演講。他在接受採訪時表示，儘管受到批評，但他的工作奠定了堅實的基礎，不僅可以以此證明黎曼假設，還可以證明數學中其他未經證實的猜想。「人們會抱怨和牢騷，」阿提亞說，「但那是因為他們拒絕接受一個老頭子可能提出一種全新方法。」

在他的演講中，阿提亞只用了幾頁PPT展示他的證明，而把大部分時間用在了討論兩位20世紀的數學家約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）和弗裡德裡希·希澤布魯赫（Friedrich Hirzebruch）的貢獻。他說他的證明基於這二位的成果。

約翰·馮·諾伊曼（左）和弗裡德裡希·希澤布魯赫（右）| Lanl（左）；Konrad Jacobs（右）

阿提亞證明的關鍵取決於物理學中的精細結構常數，它描述了帶電粒子之間電磁相互作用的強度和性質。他使用了一個相對少有人知的關係——託德函數——來描述了精細結構常數，並聲稱能夠通過反證法來證明黎曼猜想。

在五頁的證明文章中，阿提亞說，這個證明所依賴的大部分理論框架都在他的另一篇論文中。該論文已經提交給了《皇家學會會刊A》，目前尚未發表。

作者：Frankie Schembri

翻譯：博超、周唯

編輯：Ent

編譯來源：

http://www.sciencemag.org/news/2018/09/skepticism-surrounds-renowned-mathematician-s-attempted-proof-160-year-old-hypothesis

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  • 黎曼猜想有多難 - CSDN
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