這題型會了,基本不等式基本就不是問題了,繞了兩個彎,都是重點

2021-01-10 玉w頭說教育

01引言

基本不等式這塊內容一般出現的題只要使用基本不等式即可計算，但是也存在一些特別的情況，但不管怎麼變化，只需基本不等式變形即可。

即常見使用基本不等式的類型：求x+1/(x+3)最小值；求m/n+2n/3m最小值等等使用基本不等式即可，但是1/y+y/x=3，求x+y的最小值使用基本不等式又該怎麼求呢？

圖一

這個題，將基本不等式變形是不管用的，需要將給出的已知變形，但是一般沒見過或者做過的情況下很難變形，今天就詳細的講解無法變形題如何使用基本不等式。

02原題再現

[2020年模擬考試題]已知正數x,y滿足(x+y^2)/xy=3，則當x=?時，x+y取最小值為多少？

圖二

這道題也是屬於基本不等式的題型之一，但是卻不能直接使用，需要將上述已知變形。

那(x+y^2)/xy=3怎麼變形呢？

將(x+y^2)/xy=3變形成1/y+y/x=3是否有用呢？

沒用，因為雖然我們得出一個已知條件，且將這個已知除以3變換成單位1的形式與(x+y)相乘，所得到的數卻不是一個對勾函數或者是相互倒數的關係，所以這樣的變形都不能使用基本不等式。

圖三

所以這道題，我們要轉化思想，將x用y來表示，這樣求解x+y的值就變成了只關於y變量的式子了——這是我們需要知道的一個重點！

第一步，將x用y來表示。

因為(x+y^2)/xy=3，則x+y^2=3xy，即x=y^2/(3y－1)。

因為x，y是整數，則x=y^2/(3y－1)>0，則y>1/3——這點不能落下。

則x+y=y^2/(3y－1)+y

=(4y^2－y)/(3y－1)。

圖四

到這裡(4y^2－y)/(3y－1)仍然不能使用基本不等式，即使是該式子上下同時除以y也不能變形成我們可以使用基本不等式的形式。

那又該怎麼辦呢？

這個時候，我們還需要知道這個重點——換元法，給你分母換成一個字母的形式。

第二步，將分母換元成一個字母的形式。

設t=3y－1，t>0，則y=(t+1)/3，則

x+y=(4y^2－y)/(3y－1)

=〔4[(t+1)/3]^2－(t+1)/3〕/t。

整理得到（4t^2+5t+1）/9t。

圖五

第三步，化成對勾函數，使用基本不等式求最小值。

將x+y=（4t^2+5t+1）/9t分子分母同時除以t，則有

x+y=(4t+5+1/t)/9

=1/9·(4t+1/t+5)

圖六

使用基本不等式，則

x+y≥1/9·(2√4+5)

=1/9×9=1.

若且唯若4t=1/t時等號成立，即當t=1/2時等號成立。

因為t=3y－1，此時y=(1/2+1)/3=1/2，又因為x=y^2/(3y－1)，所以此時x=1/4/1/2=1/2.

綜上所述，當x=1/2時，x+y的最小值為1.

03總結

對於給出的已知不能直接使用基本不等式，且將已知變形成單位1的形式與未知量相乘時也不能使用基本不等式時，此時我們需要將該已知等式中其中的一個未知量用另一個未知量表示出來。

如果還是不能使用基本不等式時，此時可以再次使用換元的方式，將分子分母同時除以換元字母，將該式子徹底變成對勾函數的形式，最後使用基本不等式即可。

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