基本不等式是解決函數值域、最值、不等式證明、參數範圍問題的有效工具，在高考中經常考查，有時也會對其單獨考查，題目難度為中等偏上。應用時，要注意「拆、拼、湊」等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結果錯誤！
小編亂入
知識會
知識點1 重要不等式a2＋b2≥2ab【基礎】
1.不等式a2＋b2≥2ab
(1)一般地，a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，若且唯若a＝b時，等號成立．其中，不等式成立的條件是a，b∈R.
(2)文字敘述：兩數的平方和不小於它們積的2倍.
求甚解
不等式a2＋b2≥2ab中「若且唯若」的含義
(1)當a＝b時，a2＋b2≥2ab取等號，即a＝b a2＋b2＝2ab；
(2)僅當a＝b時，a2＋b2≥2ab取等號，即a2＋b2＝2aba＝b.
拓展
不等式a2＋b2≥2ab的變形
(1)(a，b∈R)，若且唯若a＝b時取等號；
(2)(a，b∈R)，若且唯若a＝b時取等號．
這兩個變形體現了兩數積、兩數平方和、兩數和的平方三者之間的關係．當不等式的一端為定值時，另一端就可以取最值．
2. 不等式a2＋b2≥2ab的證明
2-1 方法一 (幾何法)
如圖，設Rt△ABH的兩條直角邊的長分別為a，b，
則正方形ABCD的邊長為.
故正方形ABCD的面積S＝a2＋b2，四個直角三角形的面積和S′＝2ab，
由於正方形ABCD的面積不小於四個直角三角形的面積和，
故S≥S′，即a2＋b2≥2ab(若且唯若Rt△ABH變為等腰直角三角形，正方形EFGH縮為一個點，即a＝b時，等號成立)．
2-2 方法二(利用完全平方公式與作差法)
a2＋b2－2ab＝(a－b)2，
當a≠b時，(a－b)2>0，
當a＝b時，(a－b)2＝0.
所以(a－b)2≥0，
即a2＋b2≥2ab(若且唯若a＝b時，等號成立)．
示範例題
例題1.(解析題)求證：
知識點2 基本不等式【基礎】
1. 基本不等式
1-1 定義
1-2 文字敘述
1-3 基本不等式的幾何意義
基本不等式的幾何意義是半徑不小於半弦(見證明方法四)．
1-4 基本不等式成立的條件
基本不等式常用的成立的條件是a>0，b>0的情況.
辨析
基本不等式與重要不等式的異同
2. 基本不等式的證明
2-1 方法一(作差法)
2-2 方法二(分析法)
2-3 方法三(綜合法)
方法二中，分析法步步可逆，即綜合法．對於正數
若且唯若a＝b時，等號成立．
2-4 方法四(幾何法)
如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，
設AC＝a，BC＝b，
過點C作垂直於AB的弦DE，連接AD，BD.
在△ACD和△DCB中，
因為∠DAC＋∠ADC＝90°，∠ADC＋∠BDC＝90°，
所以∠DAC＝∠BDC，且∠ACD＝∠DCB，
所以△ACD∽△DCB，
3. 基本不等式的變式與應用
3-1 基本不等式的變式
劃重點
變形(1)體現了兩正數的積與兩正數和的平方之間的關係．當不等式的一端為定值時，另一端就可以取最值．
3-2 基本不等式的應用
(1)一般地，遇到和與積、平方和與積、平方和與和的平方等不等式問題時，常利用基本不等式處理.
(2)在運用基本不等式時，還要特別注意「拆」「拼」「湊」等技巧，使其滿足基本不等式應用的條件．
示範例題
例題1.(單選題)[北京豐臺區2018檢測]如果正數a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那麼( )
A.ab≤c+d，且等號成立時，a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c+d，且等號成立時，a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c+d，且等號成立時，a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c+d，且等號成立時，a，b，c，d的取值不唯一
【答案】A
【解析】正數a，b，c，d滿足a+b=cd=4，
所以4=a+b≥，即ab≤4，若且唯若a=b=2時等號成立.
又因為4=cd≤，
所以c+d≥4，若且唯若c=d=2時等號成立.
綜上，ab≤c+d，且等號成立時a，b，c，d的取值都為2.
知識點3利用基本不等式求最值【重點】
1. 兩種常見形式
若x，y均為正數時，下面的命題均成立：
1-1 和定積最大
若x＋y=s（s為定值），則若且唯若x＝y時，xy取得最大值 (簡記：和定積最大)．
即若兩個正數的和為定值，則當這兩個正數相等時，它們的積取最大值.
1-2 積定和最小
若xy=p（p為定值），則若且唯若x＝y時，x＋y取得最小值 (簡記：積定和最小)．
即若兩個正數的積為定值，則當這兩個正數相等時，它們的和取最小值．
2. 利用基本不等式求最值的條件
應用基本不等式求最值的三個條件：一正、二定、三相等．這三個條件缺一不可．
2-1 一正:各項必須為正數
2-2 二定:積或和為定值
積為定值和有最小值；和為定值積有最大值．
為了利用基本不等式，有時對給定的代數式要進行適當變形．
2-3 三相等:等號能否取到
敲黑板
在連續使用公式求最值時，取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．
拓展
當利用基本不等式求最大(小)值，等號取不到時如何處理？
當等號取不到時，可利用函數的圖象和增減性等知識來求解.
例如，求y=在x時的最小值.
畫出函數y=圖象如圖所示：
3. 利用基本不等式求最值的常用技巧
3-1 配式配係數
為了挖掘出積或和為定值，有時會通過配湊的方式，如加減某個常數、提取係數變形等，使得兩式的積或者和為定值.
3-2 「1」的代換
若題中不存在滿足基本不等式的條件，則需要創造條件對式子進行恆等變形，靈活運用「1」的代換．在不等式解題過程中，常常將不等式乘「1」，除以「1」或將不等式中的常數「1」用等於「1」的式子代替．
3-3 裂項或並項
對分子次數不低於分母次數的分式進行整式分離——整式+「真分式」，再根據分式中分母的情況對整式進行拆項；
有時也可以將式子分組(或先拆項再分組)，使得各組可以單獨使用基本不等式，或者依次使用基本不等式.
劃重點
(1)要保證變形是恆等變形，不要多、漏某項.
(2)對於分子、分母有一個是一次、有一個是二次的分式結構求最值，常考慮利用基本不等式，取倒數進行求解也是一種思路.
知識點4 利用基本不等式解決實際問題【基礎】
(1)利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數量關係，並引入變量，依題意列出相應的函數關係式或者代數式，然後用基本不等式求解．
(2)在求最值時，要注意等號能否取到，何時取到．
示範例題
例題1.(解析題)小王大學畢業後，決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需要投入流動成本為W(x)萬元．在年產量不足8萬件時，；在年產量不小於8萬件時，－38.每件產品售價為5元．假設小王生產的商品當年能全部售完．
(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關於年產量x(萬件)的函數解析式(註：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)．
(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】見解析
【解析】(1)因為每件商品售價為5元，
則x萬件商品銷售收入為5x萬元．
K重難
要點1 一個不等式鏈【難點】
求甚解
這個不等式鏈揭示了兩正數倒數和、積、和、平方和之間的不等關係，當某一部分為定值時，其餘三部分都能取到最值，且都在兩數相等時取等號，利用這個不等式鏈往往可以使複雜問題簡單化，同學們要在理解的基礎上記憶和應用．
示範例題
要點2 基本不等式的推廣【拓展】
1. 三個正數的基本不等式
2. n個正數的基本不等式
要點3 一個重要的不等式模型及應用【拓展】
1. 不等式模型
2. 不等式的證明
敲黑板
證明過程中採用配湊方法，先將所證不等式左邊乘 ，配湊出可以使用基本不等式的形式，再除以該式得證.這種思路方法請同學們注意.
3. 不等式的應用
當要求最值的式子是兩項之和，且已知條件中給出兩項之和為定值時，只要滿足要求最值的兩項和已知中的兩項分別相乘的積為定值，就可以應用上面的不等式求最值.
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