新課標中明確要求：用代數式表示數量關係及所反映的規律，發展學生的抽象思維能力。根據一列數或一組圖形的特例進行歸納，猜想，找出一般規律，進而列出通用的代數式，稱之為規律探究。在歷年的中考或學業水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導致丟分。解決此類問題的關鍵是：「細心觀察，大膽猜想，精心驗證」。 筆者認為：只要善於觀察，細心研究，知難而進，就會走出「山窮水盡疑無路」的困惑，收穫「柳暗花明又一村」的喜悅.尤其利用下文提出差分模型，可以秒殺一些規律探究問題。
1.引例
由n^3(n=2，3，…)個單位正方體可以組成一個體積為n×n×n的正方體(如圖1，由53個單位正方體組成一個體積為5×5×5的正方體)，將它的表面塗漆後，再把它分解成原來的單位正方體。問有多少個單位正方體三面塗漆？有多少個兩面塗漆？有多少個一面塗漆？有多少個沒有塗漆？
分析：我們可以通過觀察n=2，3，4，5，6…的特例，編排數表，尋找模式。
從表1可以發現，對任一個n(n=2，3，4，…)，3面塗漆的單位正方體的個數都是8，而且這8個單位正方體恰好位於n×n×n的正方體的頂點處。進一步觀察，又將發現，2面塗漆的單位正方體都位於大正方體的12條稜處。對於n=3，每條稜上恰有1個，所以共有12個；對於n＝4，每條稜上恰有2個，所以共有2×12=24個……同樣，1面塗漆的單位正方體都位於大正方體的6個面上，而不在大正方體表面的單位正方體都沒有塗漆。由以上規律，我們將很容易給出問題的解。
解：因為只有在n×n×n的正方體的8個頂點處的單位正方體才是3面塗漆的，所以共有8個單位正方體3面塗漆。因為只有在n×n×n的正方體的12條稜處且不在頂點處的單位正方體才是2面塗漆的，所以共有12(n-2)個單位正方體2面塗漆。同樣，1面塗漆的單位正方體都位於n×n×n的正方體的6個面上且不在12條稜處，所以共有6(n-2)^2 個單位正方體1面塗漆。餘下的(n-2)3個單位正方體都沒有塗漆。
2.差分模型的構建
觀察n=2，3，4，…時，3面塗漆的單位正方體的個數所組成的數列(表1的第3列)，2面塗漆的單位正方體的個數所組成的數列(表1的第4列)，1面塗漆的單位正方體的個數所組成的數列(表1的第5列)，0面塗漆的單位正方體的個數所組成的數列(表1的第6列)，我們發現，第1個數列8，8，8，8，8…是一個常數列，而第2個數列0，12，24，36，48，…有什麼性質呢？如果我們把這數列的每一項去減它右邊的項。
0—12—24—36—48…
↓ ↓ ↓ ↓
12 12 12 12…
就得到一個新的數列12，12，12，12…，它也是一個常數列。
如果我們把第3個數列0，6，24，54，96，…的每一項去減它右邊的項，
0—6—24—54—96…
↓ ↓ ↓ ↓
6 18 30 42…
得到一個新的數列6，18，30，42，…，再把這數列的每一項去減它右邊的項，再次得到一個常數列12，12，12，…。
給定一個數列｛an｝=｛a0，a1，a2，…，an，…｝，我們把bn＝an+1—an
叫做數列｛an｝的差分，把數列｛bn｝=｛a1-a0，a2-a1，…，an-an-1，…｝叫做｛an｝的一階差分數列，把數列｛bn｝的一階差分數列｛b2-b1，b3-b2，…，bn+1-bn，…｝叫做｛an｝的二階差分數列，再把｛an｝的二階差分數列的一階差分數列叫做｛an｝的三階差分數列，依次類推。
有了差分數列的概念後，再看上述問題所得到的4個數列，就會發現這樣的規律：
第2個數列0，12，24，36，48，…，12(n-2)，…的一階差分數列12，12，12，12，…
是非零的常數列，它的通項12(n-2)為n得1次多項式；第3個數列
0， 6， 24， 54， 96，…， 6(n-2)^2，…
的二階差分數列也是非零的常數列，它的通項6(n-2)^2為n的2次多項式；
對於第4個數列0， 1， 8， 27， 64， 125， 216，…，(n-2)^3 ，…，
它的通項(n-2)^3為n的3次多項式，那麼是否它的三階差分數是一個非零的常數列呢？
可以看到，第4個數列的三階差分數列是一個非零的常數列。
一般地，數列｛an｝的k階差分數列為非零的常數列的充要條件是它的通項an為n的k次多項式。
利用上述結果，我們可以從一個數列的前若干項來猜測它的通項。因為數列｛an｝的通項an不一定是n的k次多項式，而用計算差分所猜測的通項只能是n的多項式，所以對猜測的結果必須加以證明。例如，
我們從上述的第4個數列的前7項0，1，8，27，64，125，216，發現它的三階差分數列是一個非零常數列6，6，6，6。於是，我們立即可以猜測它的通項是n的3次多項式，設為an=an^3+bn^2+cn+d
這樣就可以用待定係數法求出a，b，c，d，因為
a2＝23a+2^2b＋2c+d＝0
a3=3^3a＋3^2b+3c+d＝1
a4=4^3a＋4^2b＋4c＋d＝8
a5＝5^3a＋5^2b+5c＋d＝27
所以由解上述方程組可得a=1，b=-6，c=12，d=-8
於是，我們從表1的前若干項，用差分的方法，可以猜測第4個數列的通項為
an=n^3-6n^2+12n-8=(n-2)^3
因此，可以猜測，一個表面塗漆的體積為n×n×n的正方體中有(n-2)^3個單位正方體沒有塗漆。同樣，據觀察n=2，3，4，5，6的特例，直接利用差分方法，可以猜測，2面塗漆的有12(n-2)個，1面塗漆的有6(n-2)^2個。
根據一個數列｛an｝的前若干項，利用差分方法，猜測它的通項。在通項an恰是n的多項式時，這確是一個有效的方法。因為從所猜測的結果可以受到某些啟示，幫助我們最終解決問題。
3.應用舉例
例1.（2019山西模擬）用形狀和大小相同的按如圖所示的方式排列，按照這樣的規律，第n個圖形有______個
【解析1】首先要從簡單圖形入手，抓住隨著「編號」或「序號」增加時，後一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規律，從而推出一般性的結論．第一個圖需3+1=4；第二個圖需3×2+1=7；第三個圖需3×3+1=10；…第n個圖需（3n+1）枚．
故答案為：（3n+1）．
【解析2】利用差分模型可知，可構成圖形個數的數列4,7,10，……，為一階差分數列，可設為an= cn+d，利用待定係數法，由(2,7),(3,10)代入an= cn+d可得7=2c+d, 10=3c+d，解得c=3,d=1, 所以an=3n+1。
例2.（2019春宣城期末）如圖，圖（1）、圖（2）、圖（3）、圖（4）分別由若干個點組成，照此規律，若圖（n）中共有129個點，則n=（ ）
【解析1】常規解法
【解析2】利用差分模型可知，可構成圖形個數的數列3,9,17，27，……，為二階差分數列，可設為an=bn^2+cn+d，利用待定係數法，由(1,3),(2,9)，(,3,17)代入an=bn^2+cn+d可得3=b+c+d, 9=4b+2c+d，17=9b+3b+d,解得b=1,c=3,d=-1, 所以an=n^2+3n+1。
例3.順次計算數列1^2，1^2＋2^2，1^2＋2^2＋3^2，1^2＋2^2＋3^2＋4^2，1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2，1^2＋2^2+3^2+4^2＋5^2＋6^2，…的前6項的值，由此猜測an=1^2＋2^2+…＋n^2
解析：根據1^2=1，1^2＋2^2=5，1^2＋2^2＋3^2=14，1^2＋262＋3^2＋4^2 =30，1^2+2^2+3^2＋4^2＋5^2=55，1^2＋2^2＋3^2+4^2＋5^2+6^2=91，計算數列1，5，14，30，55，91，…的差分
由於三階差分數列是非零的常數列，所以猜測an是n的3次多項式an^3＋bn^2＋cn＋d，利用待定係數法，還可進一步求出a，b，c，d的值：
解四元一次方程組
得
因此，可以猜測
即
有了上式的猜測，如果我們學過數學歸納法，就可以用數學歸納法證明(1)式對任何的自然數n都成立。
說明：差分是「計算方法」(數學的一個分支)中的一個重要概念，而計算方法所研究的數學問題的求解算法是與計算機密切相關的。雖然差分非常有用，但這裡就不再進一步介紹了。