原創 Charlie Wood 集智俱樂部
導語
從基本粒子到原子、光波、水波，自然似乎傾向於將自己分裂成不同尺度的獨立世界，而重整化的過程則將小尺度與大尺度聯繫起來。有物理學家認為，重整化可以說是過去50年理論物理學中最重要的進展。在亞原子物理學中，重整化告訴我們，何時可以只處理相對簡單的質子，而忽略掉其內部彼此糾纏的夸克。不過，當問題簡化之後，那些忽略掉的微觀細節要如何看到呢？
原文題目：
How Mathematical 『Hocus-Pocus』 Saved Particle Physics
原文地址：
https://www.quantamagazine.org/how-renormalization-saved-particle-physics-20200917/
我們不需要分析單個的水分子來理解水滴的行為，也不需要分析水滴來研究水波。這種在不同尺度之間轉移焦點的能力正是重整化的本質。| 來源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
上世紀40年代，開創性的物理學家們偶然發現了另一層的現實。他們不再從粒子的角度看待微觀世界，而是從場的角度——像海洋一樣充滿空間的廣闊而起伏的實體。場中激發的一個漣漪可能是電子，另一個可能是光子，它們之間的相互作用似乎可以解釋所有的電磁事件。
但是應用場論遭遇到了一個問題：只有使用一種被稱為「重整化」的方法，將無窮的量小心隱藏起來，研究人員才能避開虛假預測。這個過程行之有效，但即使是那些發展這一理論的人也懷疑，它可能是建立在一套複雜數學技巧上的「紙牌屋」。
理察·費曼（Richard Feynman）後來寫道：「我認為這是一個愚蠢的過程。不得不求助於這樣的騙局已經阻止我們證明量子電動力學理論在數學上是自洽的。「
數十年後，證明終於出現，並且是來自一個看似無關的物理學分支。研究磁性系統的物理學家發現，重整化與無窮大根本沒有關係；相反，它描述宇宙傾向於分裂成不同尺度的諸多領域。如今，這一觀點指導著物理學的角角落落。
劍橋大學的理論學家 David Tong 寫道，重整化「可以說是過去50年理論物理學中最重要的進展。」
1. 兩種電子電荷：有限與無限
從某種程度上說，場論是所有科學理論中最成功的。作為粒子物理學標準模型的支柱之一，量子電動力學（QED）的理論預測與實驗結果吻合的精度達到十億分之一。但時間退回到上世紀三四十年代，這一理論的前景仍然充滿未知之數。對場的複雜行為做近似經常會給出荒謬的無窮解，這使得一些理論學家認為，場論可能是一個死胡同。
費曼和其他人試圖尋找全新的視角，甚至一度有可能讓粒子的概念重返舞臺中央，但最終憑藉一種巧妙的策略回歸了場的概念。他們發現，如果用難以理解的重整化過程加以修補，量子電動力學方程可以做出相當好的預測。
這個過程是這樣的。當量子電動力學計算求和得到的結果是無限時，就截斷它。把趨向於無窮大的部分表示為和前面的一個係數，即一個確定的數。然後用實驗測量得到的一個有限的數替換這個係數。最後，讓調整後的新的和再次趨於無窮。
對一些人來說，這個解決辦法就像是一個騙局。量子物理學的開創者之一保羅·狄拉克（Paul Dirac）寫道：「這根本不是合理的數學。」
問題的核心，以及最終解決方案的根源，可以從物理學家處理電子電荷的方式中看出來。
在上面的方案中，電荷蘊含在係數中——正是係數在數學計算中吸收掉了無窮大。對於那些為重整化的物理意義感到困惑的理論學家而言，量子電動力學暗示電子有兩個電荷：一個是理論上的電荷，它是無窮大的；另一個是測量到的電荷，它是有限的。
或許從非常靠近電子核心的距離看來，電子由大量電子、正電子和光子組成，攜帶有無限的電荷；但在實際中，量子場效應（可以想像成一團虛擬的正粒子云）屏蔽了電子，所以實驗人員只能測量到一個有限的淨電荷。重整化捕捉到了一個現象，自然傾向於將自己分裂成本質上獨立的世界。
1954年，蓋爾曼（Murray Gell-Mann）和弗朗西斯·洛（Francis Low）兩位物理學家充實了這個想法。他們用一個隨距離變化的「有效」電荷將兩種電子電荷聯繫了起來。如果距離電子的核心越近（即越能夠穿透電子的正電荷層），看到的電荷就越多。
他們的工作第一次將重整化與尺度的概念聯繫起來。它暗示量子物理學家事實上找到了錯誤問題的正確答案。他們本應專注於將小尺度與大尺度聯繫起來，而不是為無限的問題感到困擾。
南丹麥大學（University of Southern Denmark）的物理學家 Astrid Eichhorn 致力於利用重整化來尋找量子引力理論，他解釋說，重整化是「數學版本的顯微鏡。反過來，你也可以從微觀系統開始，然後縮放。它是顯微鏡和望遠鏡的結合。」
2. 連接微觀與宏觀：
從塊自旋到重整化群
另一條線索來自凝聚態物質的世界。在凝聚態物理領域，物理學家們正困惑於一個問題：一個粗糙的磁性系統模型——伊辛模型——如何能成功確定一些變換的具體細節？伊辛模型包含的只不過是一個由箭頭組成的網格，這些箭頭的指向要麼朝上要麼朝下，然而，這個簡單的模型卻能夠以出乎意料的完美方式預測現實生活中磁體的行為。
二維伊辛模型，網格中的自旋要麼朝上要麼朝下。| 來源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
低溫下，大多數原子傾向於指向相同方向，從而使材料表現出磁性；高溫下，原子變得無序，晶格的磁性退減。不過在這兩者之間的一個臨界轉變點上，指向相同的原子聚集形成的大大小小的「島嶼」可以同時共存。
至關重要的是，在伊辛模型中，一些物理量在這個「臨界點」附近的變化方式似乎是相同的——無論是不同材料的真實磁體，還是在高壓條件的臨界點附近，密度不再有差異的液態水和水蒸氣。這種被理論學家們稱為普適性（universality）的現象非常奇特，就像是看到大象這樣的龐然大物和輕盈的白鷺以完全相同的最高速度運動一樣。
物理學家通常不會同時處理不同尺度的物體，例如基本粒子、原子、光、流體力學波等系統都是在不同的尺度被描述刻畫。但臨界點附近的普適性行為迫使物理學家同時計算所有尺度，從整個系統尺度的長程漲落一直到原子尺度的微小漲落。
1966年，凝聚態物理學家利奧·卡達諾夫（Leo Kadanoff） 找到了這種計算方法。他發展了「塊自旋（block spin）」方法，將過於複雜而無法直接處理的伊辛網格分成適當大小的區塊，每個區塊包含幾個箭頭。然後他計算一個區塊內箭頭的平均指向，以此數值代替整個區塊的箭頭指向。通過不斷重複這個過程，晶格的具體細節逐漸隱沒，系統被不斷縮放，從而得以了解系統的整體行為。
在塊自旋重整化過程中，單個自旋組成的精細網格被平均成越來越大的區塊。| 來源：Olena Shmahalo/Quanta
最終，曾經作為蓋爾曼研究生，且同時涉足粒子物理學和凝聚態物質領域的肯·威爾遜（Ken Wilson）將蓋爾曼和洛的思想與卡達諾夫的思想結合起來。他在1971年首次描述了「重整化群」，證明量子電動力學惱人的計算是正確的，並為攀登普適系統的尺度提供了階梯。這項工作為威爾遜贏得了1982年諾貝爾獎，並永遠改變了物理學。
牛津大學的凝聚態理論學家 Paul Fendley 說，理解威爾遜的重整化群這一概念的最佳方式，是將其看作連接微觀與宏觀的「理論的理論」。
以磁系統網格為例。在微觀層面上，很容易寫出聯繫兩個相鄰箭頭的方程。但用這個簡單的公式來推斷數萬億個粒子的行為實際上是不可能的。因為這是在錯誤的尺度上考慮問題。
威爾遜的重整化群描述了從構建區塊的理論向一個關於結構的理論的轉變。從關於小碎片——比如撞球中包含的原子——的理論開始，利用威爾遜的數學方法，我們會得到一個描述成組的碎片——也許是撞球中的分子——的相關理論。隨著繼續重複這個過程，我們會縮放得到越來越大的組合——撞球中分子的集群，撞球的一部分，等等。最終，我們將能夠計算一些有趣的東西，比如整個撞球的運動路徑。
這就是重整化群的神奇之處：它幫助我們識別出，測量哪些有助於理解大圖像的物理量是有用的，而哪些複雜的微觀細節可以忽略掉。衝浪者關心海浪的高度，而不是水分子的碰撞。與此類似，在亞原子物理學中，重整化告訴物理學家，何時可以只處理相對簡單的質子，而不是其內部彼此糾纏的夸克。
威爾遜的重整化群理論還指出，費曼和他同時代人的困境來源於，他們試圖從無限近的距離理解電子。英國達勒姆大學的物理哲學家 James Fraser 說：「我們並不期望理論的有效性可以延伸到任意小的距離尺度。「
現在，物理學家們意識到，當理論有一個內在的最小網格尺寸作為限制時，從數學上截斷求和並調整無窮是正確的方法。Fraser 說，截斷求和的過程吸收了我們對更小尺度上正在發生的事情的無知。
換句話說，量子電動力學和標準模型根本不能說明在0納米的距離之外，電子的裸電荷是多少。它們是物理學家所說的」有效「理論，在定義良好的距離範圍內最為有效。要弄清楚當粒子之間更親密時到底發生了什麼，是高能物理學的一個主要目標。
3. 如何從大到小，
看見大自然隱藏的細節？
今天，費曼所說的「愚蠢過程」在物理學中已經像微積分一樣普遍存在，其內在原理揭示了這門學科取得的一些重大成果和目前面臨挑戰的原因。在重整化過程中，複雜的亞微觀細節往往會消失。它們或許真實存在，但不影響整體的大圖像。「簡單是一種美德。上帝蘊含於其中。」 Fendley 說道。
這個數學事實捕捉到了自然的傾向——將自身分離成本質上獨立的世界。當工程師設計摩天大樓時，他們會忽略鋼鐵中的單個分子。化學家分析分子鍵，但對夸克和膠子一無所知。按照尺度分離不同現象，正如重整化群所描述的那樣，使得科學家們在過去數個世紀裡逐漸從大尺度深入小尺度，而不是同時破解所有尺度的奧秘。
但與此同時，重整化的過程隱沒了微觀細節，對於渴望探測到更深層次現象的現代物理學家而言，這無疑是非常不利的。不同尺度的分離表明，他們需要深入挖掘，克服大自然的獨特趣味：它傾向於隱藏細節，不讓人類這樣好奇的巨人看到。
普林斯頓高等研究院的理論物理學家 Nathan Seiberg 說：「重整化幫助我們簡化了問題，但也隱藏了短距離內發生的事情。兩者不能兼得。」
作者：Charlie Wood
譯者：梁金
編輯：鄧一雪
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原標題：《重整化群：從微觀到宏觀，不同尺度的現象如何聯繫起來？》
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