應力＂奇點＂(Stress singularity)

        在宇宙大爆炸理論中，「奇點」是宇宙演化的起點，它具有一系列奇異的性質，比如無限大的物質密度，無限大的壓力，無限彎曲的時空等，同時在黑洞（blackhole）理論中，也將黑洞中心無限大的密度比作奇點。而在有限元分析FEA中，同樣存在著「奇點」，那就是應力（stress）無窮大的點（隨著網格細化無限增大的點）。

        我們知道，有限元法是數值算法，而數值算法就涉及到解的收斂性，如果解沒有收斂就可能導致奇點或者奇異性（singularity）的產生。今天我們將討論應力「奇點」（stress singularity）。

應力奇點（Stress singularities）

        在結構分析中，我們知道軟體內部在計算時先計算出節點位移（displacements），然後再通過數學方程導出應力（stress）。應力奇點的出現往往就是某個節點的應力導出值不收斂，我們越是細化網格，此處的應力值就會越大，理論上，隨著網格的細化，應力值會趨於無窮大（infinite）。

        應力奇點發生的典型位置一般出現在點加載、點接觸、點約束、90°拐角（無圓角）等位置。如下圖所示的點加載和90°拐角的例子。

一個平板在端面的載荷，一個是集中在一點，一個是均勻分布在端面。在點加載附近會產生應力奇點，而均勻載荷不會。（但是比較兩圖可以發現，在稍微遠離點載荷的地方，應力的分布和均勻載荷是一樣的）

在90°拐角位置，最大壓縮應力和最大拉伸應力發生在同一點，隨著網格的細化，兩種力都會隨之不斷增加。（當然，現實情況中，這種無圓角的部件是製造不出來的，多少會有個小圓角，所以不可能出現應力奇點，但根據圓角大小的不同，小圓角會產生應力集中）

聖維南原理（St. Venant’s Principle）

       雖然應力在某些地方會趨於無限，而且是無法避免的。但這並不意味著模型在其它區域的結果不正確。

這種情形就是有限元分析中有名的聖維南原理（St. Venant’s Principle）

       聖維南原理（Saint Venant’s Principle）是彈性力學的基礎性原理，是法國力學家聖維南於1855年提出的。其內容是：分布於彈性體上一小塊面積（或體積）內的荷載所引起的物體中的應力，在離荷載作用區稍遠的地方，基本上只同荷載的合力和合力矩有關；荷載的具體分布只影響荷載作用區附近的應力分布。還有一種等價的提法：如果作用在彈性體某一小塊面積（或體積）上的荷載的合力和合力矩都等於零，則在遠離荷載作用區的地方，應力就小得幾乎等於零。不少學者研究過聖維南原理的正確性，結果發現，它在大部分實際問題中成立。

        所以，有了聖維南原理，我們對有限元分析的模型處理就有了有力的理論支撐，比如對於我們不關心的區域我們完全可以簡化模型方便計算和網格劃分。

聖維南原理示意圖，說明點加載影響的區域，在遠離點加載區域，應力是分布均勻的

如何處理應力奇點

       應力奇點在有限元分析FEA中很常見，但很多時候，奇點區域我們並不關心。所以

忽略應力奇點，如果不關心奇點區域的應力分布，根據聖維南原理，遠離奇點的位置應力分布不受影響仍然是正確的。

另外，我們知道，在有限元分析劃分網格時，過多的圓角，特別是小圓角會使網格劃分出現問題，但有了聖維南原理，如果我們不關心圓角區域的應力分布，我們可以把小圓角去掉方便網格的劃分，計算成本也會減小。

現實條件下，無限應力是不會產生的，比如90°拐角不可能加工出來。另外，由於材料本身會產生屈服，應力不可能無限增大。在非線性分析時，由於需要考慮材料的塑形區域，軟體會自動消除應力奇點（因為過了彈性區域，塑形的存在使應力會有極限值）。