應力＂奇點＂(Stress singularity)(二)

不久前，公眾號發表了有限元分析中關於應力「奇點」（Stress singularity，或者叫應力的奇異性）的文章，引起了很大興趣，至今文章都還在不斷轉發分享中。大家也紛紛留言表達自己的觀點。請先閱讀前面的文章，點此連結：應力"奇點"(Stress singularity)

 今天，我們再對這個應力奇點（singularities）進行進一步的簡單總結和討論。

哪些情形會產生應力奇點？

怎樣消除應力奇點？

什麼情況下要注意應力奇點？

你可以用你的電腦嘗試做下面這個簡單的仿真測試，如下圖所示，一個薄板部件（2m*1m）一段固定，另一端施加一個載荷，部件中央有一個正方形方孔（0.2m），不斷將網格細化，看看正方形四個頂點的應力值大小。

       隨著網格的不斷細化，你會發現四個頂點的應力值會越來越大，應力分布也越來越集中。

粗網格下的應力分布

精細網格下的應力分布

       如果你有耐心一直劃分下去，會發現應力會不斷增大趨於無窮，當然越往後網格劃分會越來越困難。應力大小和單元大小的關係近似如下圖（x坐標已經對數化處理）。

       上面這個例子是一個非常容易理解的例子。這種隨著網格劃分不斷細化，應力也不斷增大的現象就是應力奇點，或者叫應力奇異性（singlarties）。

有些人可能會問，為什麼應力會趨於無窮大，數學解釋是什麼。有限元的數學基礎體系很繁雜，不是一個簡單的公式可以說明的。不過有個不是很恰當但很直觀的一個解釋：

我們知道，有限元分析中，求得的結果是位移，然後應變由位移導出（,u為位移），應變是位移的梯度；然後應變再導出應力（），所以應力可以看做位移場的梯度或者位移的導數。如下圖所示，在截面突變處，位移的大小也發生突變，在網格比較粗糙時這種突變不明顯，但隨著網格不斷細化，突變會越來越明顯，相應的導數也就越大，所以應力會不斷變大。（但要說明的是，如果現實中有這麼一個實實在在的部件，我們去驗證，施加了載荷和約束，那麼肯定只有一個確切無疑的狀態，應力多大，位移多大是實實在在的可以測量出來的。在軟體分析中，位移（displacement）是會收斂的，不會一直增大）。

應力奇點，往往主要是因為幾何體局部沒有圓角（截面積發生突變）產生應力集中導致的。還有就是前面提到的點加載；點約束也可能導致奇點；或者部件局部有狹小的縫隙；或者焊接件的焊縫處等等。

應力奇點的補充：

點約束

模型局部狹小的縫隙處

焊縫（焊接分析時）

消除應力奇點很簡單，參照上面的例子，為了避免應力集中，我們倒圓角，避免缺口等等，至於點約束或者點加載，其實基本上我們一般壓根不關注約束和加載處的應力分布。如果無法避免，根據聖維南原理（請參看前面的文章），遠離奇點或應力集中的地方應力值不受影響。

什麼情況下我們要考慮應力奇點帶來的影響呢？在現實生活中，上面提到的會產生應力奇點的理想情形是沒有的，比如圓角，加工出來多少還是有的，只是有大有小，應力不會無窮大。但圓角越小應力越集中。

有些情況下應力集中我們是不用擔心的，拿我們經常看到的窗戶來說，如下圖所示，拐角處並沒有太大的圓角。為什麼呢？因為建築物主要承載的是靜力。這種主要承載靜力的情況下，應力集中是不會有顯著危害的，我們可以不考慮。

再看一個窗戶，如下圖所示，飛機上的窗戶，圓角就非常圓潤。為什麼呢，因為飛機在飛行過程中，外部壓強不斷變化，窗戶的受力也會不斷變化，這時候，這種受到載荷不斷變化的情形，我們就要高度關注應力集中。

載荷不斷變化帶來的不良影響，就是有限元分析中的疲勞分析（fatigue analysis）。所以，當要對部件進行疲勞分析時，我們一點要關注應力奇點（或者應力集中），要處理好每一個細節處圓角的大小，因為應力的大小直接決定了我們疲勞分析出來的壽命，如果處理不好，實際情況和軟體分析的結果將非常不同。

       當然有個問題就是，如果我們要對一個非常大的模型進行疲勞分析，每個注意的細節都倒圓角，那圓角將會非常多，這會給網格劃分帶來很大的困難，不一定能劃分成功，就算成功了，網格質量也可能很差，也非常多，那怎麼辦呢？這個問題將是我們後面要討論的全局—局部分析(global to local)，我們只把關心的區域處理好，即子模型（submodeling），然後截取出來分析。比如下圖所示的輪轂，由於周期對稱，我們只把輪轂的一小部分截取出來進行分析。局部分析的技巧我們會在後續文章中討論。