第2講 數軸
一、數軸
1、數軸的三要素：原點，正方向、單位長度。
2、數軸上點的位置：
① 在原點左側的數為負，在原點右側的數為正，原點對應的數為O；
② 數軸上的點，距離原點越近，其對應的數的絕對值越小；距離原點越遠，其對應的數的絕對值越大。
例1：（2019大慶）實數m，n在數軸上的對應點如圖所示，則下列各式子正確的是（ ）
A．m＞nB．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|
【答案】C
【分析】從數軸上可以看出m、n都是負數，且m＜n，由此逐項分析得出結論即可．
例2（2015寧德）有理數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列各式正確的是（ ）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．0
【答案】B
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴A、a+b＞0，故錯誤，不符合題意；
B、a﹣b＜0，正確，符合題意；
C、ab＜0，錯誤，不符合題意；
D、0，錯誤，不符合題意；
故選：B．
3、數軸上點的運動
① 數軸上點M對應的數為m，則點M向左（右）運動n個單位，得到的點對應的數為m-n（m+n）
即：數軸上的點對應的數，滿足：「左減右加」的運動規律。
例：（2020樂山）數軸上點A表示的數是﹣3，將點A在數軸上平移7個單位長度得到點B．則點B表示的數是（ ）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
【解答】解：點A表示的數是﹣3，左移7個單位，得﹣3﹣7＝﹣10，
點A表示的數是﹣3，右移7個單位，得﹣3+7＝4．
所以點B表示的數是4或﹣10．
故選：D．
4、數軸上點的距離
數軸上點A和點B對應的數分別是a和b，則A、B兩點的距離為|a-b|
因此，我們可以把|x|看成|x-0|，這樣就能理解為什麼|x|表示數x對應的點到原點的距離。
同樣的道理， |x-1|表示，數軸上數x對應的點到1對應的點的距離。
|x+1|=|x-(-1)|表示，數軸上數x對應的點到-1對應的點的距離。
例：求|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值
【解答】解：∵數軸上，數x對應的點到﹣1對應的點的距離為|x+1|，
數x對應的點到2對應的點的距離為|x﹣2|，
數x對應的點到3對應的點的距離為|x﹣3|，
∴當x＝2時，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值為3﹣（﹣1）＝4；
5、中點公式
數軸上點A和點B對應的數分別是a和b，點C是線段AB的中點，
例：（2019貴陽）數軸上點A，B，M表示的數分別是a，2a，9，點M為線段AB的中點，則a的值是（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．18
【答案】C
【解答】解：∵數軸上點A，B，M表示的數分別是a，2a，9，點M為線段AB的中點，
∴9﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝6，
故選：C．
二、相反數
1、相反數的概念
2、相反數的應用
① 非零實數a的相反數是-a .0的相反數為0
② 實數a，b互為相反數，則a＋b＝0，只要出現相反數，立刻寫出這個等式。
③ 數軸上表示相反數（0除外）的兩個點在原點兩側，且到原點的距離相等，關於原點對稱。
相反數部分在中考必考，但是基本都是送分題。
例：（2020陝西）﹣18的相反數是（ ）
A．18 B．﹣18 C． D．
2、絕對值的幾何意義
點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．
例：根據上述材料，解答下列問題：
（1）若|x﹣3|＝|x+1|，則x＝_______；
（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值為______；
（3）若|x﹣3|+|x+1|＝7，求x的值．
絕對值也屬於中考的必考點，不過考題基本也都屬於送分題，只要掌握絕對值的代數意義和幾何意義的基本計算即可。
【典型考題】