一、人船模型
例1、在平靜的湖面上停泊著一條長為L，質量為M的船，如果有一質量為m的人從船的一端走到另一端，求船和人相對水面的位移各為多少？
解析：設人從船的一端走到另一端所用時間為t，人、船的速度分別為，由人、船整個系統在水平方向上滿足動量守恆，則：
模型特徵：
1.無關；
2.由（1）（2）得，在系統滿足動量守恆的方向上，人船的位移與質量成正比；
3.對，分式中的分子m為船上一端移到另一端的「淨質量」，分母M+m為船和船上所有物體的質量和。
例2、在冰面上靜止著質量為M、長為L的車，車的一端由一名士兵進行實彈射擊在車另一端的靶子，已知士兵和其武器裝備的質量為m，每顆子彈的質量，當士兵發射了顆子彈後稍做休息，又發射了顆子彈，並全部擊中靶子，求車後退的距離________。
解析：車、人和子彈三者構成的體系在水平方向上滿足動量守恆，從車的一端移到另一端的淨質量為，由模型特徵得
例3、在距離地面高h處的氣球上站有一人，人和氣球的質量分別為m和M，開始兩者均靜止，人要沿繩安全的滑到地面上，繩至少多長？
解析：人和氣球兩者在豎直方向上滿足動量守恆，人滑到地面相對地的位移為，設球上升的高度為，繩長至少為L，則由得。
所以繩子長至少為。
例4、在光滑水平面上有一質量為M的斜劈，斜劈斜面與水平面的夾角為，斜面長為L，斜劈的頂端有一質量為m的小球，當小球滑到斜劈的低端時，求斜劈後退的距離。
解析：小球和斜劈兩者組成的系統在水平方向上滿足動量守恆，斜劈斜面長在水平方向的投影。
由上面的模型特點得斜劈後退的距離。
二、子彈打木塊模型
例5、如圖4所示，質量為M的木塊放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以初速度水平射向木塊，設木塊沒有被射穿且子彈受到的阻力f恆定，求
（1）木塊的最大速度；
（2）木塊的最短水平長度；
（3）木塊的速度達到最大時，子彈射入木塊的深度與木塊的位移之比；
（4）子彈與木塊相對運動過程系統產生的內能。
解析：（1）當木塊與子彈的速度相等時，木塊的速度最大，由動量守恆列式
（2）子彈和木塊對地的位移不相等，木塊未被擊穿，表明木塊的水平長度應不小於兩者位移之差，即
由<1>、<2>、<5>式得，所以木塊的最短水平長度為
（3）設子彈進入木塊的深度為d，聯立<1>、<2>、<4>、<5>式得
（4）系統增加的內能等於系統減少的動能
由<1>、<5>得表示子彈原有動能，系統內能增加。
模型特徵：
<1>當子彈和木塊的速度相等時木塊的速度最大，兩者的相對位移（子彈射入的深度）取得極值；
<2>系統的動量守恆，但系統的機械能不守恆，系統內力與兩者相對位移的乘積等於系統機械能的減少，當兩者的速度相等時，系統機械能損失最大；由上式可以看出，子彈的質量越小，木塊的質量越大，動能損失越多；
<3>根據能量守恆，系統損失的動能等於系統其他形式能的增加；
<4>解決該類問題，既可以從動量、能量兩方面解題，也可以從力和運動的角度，藉助圖像求解。
例6、質量為的小木塊以水平速度為滑上一個靜止在光滑地面上的平板車，如圖5所示，平板車的質量，若木塊沒有滑出平板車，它們之間的動摩擦因數為，，求
（1）求整個系統損失的機械能；
（2）這一過程所經歷的時間。
解析：（1）整個系統損失的能量為：
（2）以為研究對象，受到水平向右的恆力
例7、如圖6所示，兩根足夠長的固定的平行的金屬導軌位於同一水平面上，兩根導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形迴路。兩根導體棒的質量均為m，電阻分別為，迴路中其餘部分的電阻不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B，兩導體棒均可沿導軌無摩擦的滑行。開始時cd棒靜止，棒ab有指向棒cd的初速度，若兩導體棒在運動中始終不接觸，求在運動中ab棒產生的焦耳熱是多少？
解析：ab棒向右切割磁感線運動，整個迴路中有感應電流存在，在安培力的作用下，ab棒做減速運動，cd棒做加速運動，當兩棒的速度相等後，整個迴路中的電流等於零，兩棒保持向右做勻速運動。
兩棒組成系統動量守恆，由上面的結論知，系統損失的動能等於系統產生的焦耳熱，
ab棒產生的焦耳熱
例8、1919年盧瑟福用粒子轟擊一個靜止的核發現質子。上面的核反應可以用下面的模型來認識。運動粒子撞擊一個靜止的核，它們暫時形成一個整體（複合核），隨即複合核迅速轉化成一個質子和一個原子核，已知複合核發生轉化需要1.19MeV，要想發生該核反應，入射的粒子的動能至少為多少？
解析：粒子撞擊一個靜止的核符合動量守恆，系統損失的動能轉化為複合核轉化所需要的能量為，所以入射粒子的動能。
三、彈性球正碰模型
例9、已知A、B兩個彈性小球，質量分別為，B物體靜止在光滑的平面上，A以初速度與B物體發生正碰，求碰後A物體速度為和B物體速度的大小和方向。
解析：因發生的是彈性碰撞，取方向為正方向
由動量守恆
由機械能守恆
由<1>、<2>兩式得：
模型特徵：
<1>在碰撞過程中動量守恆、機械能守恆；
<2>當時，，A物體靜止，B物體以A的初速度運動，速度發生互換；
當，則，即物體A、B同方向運動，因，所以速度大小，即兩小球不會發生第二次碰撞。其中當，，即當質量很大的物體A碰撞質量很小的物體B，物體A的速度幾乎不變，物體B以2倍於物體A的速度和物體A同向運動。
當時，則，即物體A、B反方向運動，其中，當時，，即物體A以原速度的大小彈回，物體B靜止不動。
例10、如圖8，質量分別為M、m（M>>m）的母子球從高h處下落。試證明：大球與地面相碰後，小球從大球頂反彈的最大高度為。
解析：設母子球著地的速度為v，，由於M>>m，著地後，大球反彈，以速度v碰撞小球，小球獲得豎直向上的速度2v；同時小球以速度v碰撞大球，必然以速度v返回，所以小球以速度3v反彈，則小球從大球頂部反彈的最大高度為
例11、帶有光滑圓弧的軌道、質量為M的滑車靜止於光滑的水平面上，如圖9所示。一個質量為m的小球以速度水平衝向滑車，當小球在返回並脫離滑車時，下列說法可能正確的是（ ）
A.小球一定沿水平方向向左平拋運動
B.小球可能沿水平方向向右平拋運動
C.小球可能做自由落體運動
D.小球可能做水平向右運動
解析：小球滑上滑車，又返回，到離開滑車的整個過程中，相當於小球與滑車發生彈性碰撞的過程。如果mM，小球離開滑車向右做平拋運動，故答案應選B、C、D。
例12、如圖10中兩單擺的擺長相同，平衡時，兩鋼球剛好接觸，現將擺球A在兩擺線所在的平面向左拉開一小角度釋放，碰撞後兩球分開各自做簡諧運動，以分別表示兩擺球A、B的質量，則（ ）
A.如果，下次碰撞發生在平衡位置的右側
B.如果，下次碰撞發生在平衡位置的左側
C.無論擺球質量之比是多少，下次碰撞都不可能發生在平衡位置的右側
D.無論擺球質量之比是多少，下次碰撞都不可能發生在平衡位置的左側
解析：當時，A球以與B球在平衡位置發生彈性碰撞，速度互換，A球靜止；當B球反向擺回，以的速度與A球在平衡位置再次發生彈性碰撞，如此反覆；
當時，A球與B球在平衡位置發生第一次碰撞，因，所以兩球同向右擺動，各經過半個周期後第二次到達平衡位置。因兩擺球的擺線等長，故兩擺球的周期相等，所以兩球同時到達平衡位置，在平衡位置發生第二次碰撞。同理，當，兩球也在平衡位置發生第二次碰撞，故答案應選C、D。
四、平射炮反衝模型
例13、光滑的水平面上靜止一輛質量為M的炮車，當炮車水平發射一枚質量為m的炮彈，炮彈出口時有的火藥能量釋放，其中有的能量轉化為系統的內能，求炮彈和炮車的動能各為多少？
解析：炮彈和炮車組成的系統在水平方向上滿足動量守恆，設炮彈和炮車的速度分別為，由動量守恆得，即動量大小關係
設炮彈和炮車的動能分別為，系統機械能的增加量為，則由能量守恆得
模型特徵：
<1>在滿足動量守恆的方向上，整個系統任意時刻的動量為零，即；
<2>炮車和炮彈獲得動能為；
<3>讓（1）式比上（2）式得，即炮彈和炮車獲得動能與其質量成反比。
例14、如圖11所示，帶有光滑的半徑為R的圓弧軌道的滑塊靜止在光滑的水平面上，此滑塊的質量為M，一個質量為m的小球靜止從A點釋放，當小球從滑塊B處水平飛出時，求滑塊的動能。
解析：當小球從B點飛出時，小球和滑塊在水平方向上滿足動量守恆，由上面的模型特點的滑塊獲得的動能為
例15、在光滑的水平面上放有質量分別為M、m的兩小球，兩球間放有一被壓縮的輕質彈簧，其彈性勢能為E，釋放彈簧，兩球被彈開，求小球m的最大速度。
解析：當彈簧完全彈開後，由上面的模型特徵知，小球m的動能，由動能定理得小球的最大速度。
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