讓人頭暈的兩個完全平方公式間的恆等變形題型

2020-12-03 米粉老師說數學

平方差公式及完全平方公式，是初一下整式運算章節最重要的兩個運算公式，由於公式中的底數有數字、字母、單項式、多項式、乘方式這五種變化，即每個公式至少有25種變化題目，這還不包括公式之間的恆等變形產生的變化題目，所以很多初一生對這類題型總是把握不好，對題目的變化總是迷迷糊糊頭暈腦脹的，這裡我們系列梳理下兩個完全平方公式間的恆等變形題型。

【知識梳理】

兩個完全平方公式間的變形：

①(a+b)*2=a*2+2ab+b*2；②(a-b)*2=a*2-2ab+b*2.

（1）由①可得a*2+b*2=(a+b)*2-2ab -----用途：已知a+b和ab可求a*2+b*2；

由②可得a*2+b*2=(a-b)*2+2ab -----用途：已知a-b和ab可求a*2+b*2；

由①+②可得a*2+b*2=[(a+b)*2+(a-b)*2]÷2 -----用途：已知a-b和a+b可求a*2+b*2；

（2）由①可得ab=[(a+b)*2-( a*2+b*2)]÷2----用途：已知a+b和a*2+b*2求ab；

由②可得ab=[( a*2+b*2)-(a-b)*2]÷2-----用途：已知a-b和a*2+b*2求ab；

由①-②可得ab=[(a+b)*2-(a-b)*2]÷4 ----用途：已知a+b和ab求a-b；

（3）由①-②可得(a+b)*2=(a-b)*2+4ab----用途：已知a-b和ab求a+b；

由①-②可得(a-b)*2=(a+b)*2-4ab----用途：已知a+b和ab求a-b；

【典型練習】

【答案詳解】

(1)解：原式=(a+b)*2-2ab=9-4=5;

(2)解：原式=(x-y)*2+2xy=49+4=53

(3) 解：原式=[(a*2+b*2)- (a-b)*2]÷2=(3-4)÷2=-0.5

(4) 解：原式=[(a+b)*2-(a*2+b*2)]÷2=(1-2)÷2=-0.5

(5) 解：原式=[(a+b)*2-(a-b)*2]÷4=(9-49)÷4=-10

(6) 解：∵a+b=5，ab=4，∴(a-b)*2=(a+b)*2-4ab=25-16=9，則a-b=±3

(7)解：原式=[(x+y)*2-(x-y)*2]÷4=(9-1)÷4=2

(8) 解：原式=(m+n)*2-3mn=49-36=13

(9) 解：原式=(a+b)*2-4ab=11-8=3

(10) 解：∵（a+b）*2=a*2+b*2+2ab=5+4=9,∴a+b=±3

(11) 解：∵x*2+y*2=(x+y)*2-2xy,可得xy=1,原式=3-1=2

(12) 解：原式=(x-y)*2+4xy=9+40=49

(13) 解：原式=(a+b)*2-4ab=25+12=37

(14) 解：原式=(x-2y)*2+4x(2y)=(x-2y)*2+8xy=1+80=81

(15) 解：∵a-b=1，∴a=b+1，∴a*2-b*2-2b=（b+1）*2-b*2-2b=b*2+2b+1-b*2-2b=1

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