中考數學專題系列四十三：平方差公式、完全平方公式學習方法談
作者 卜凡
平方差公式、完全平方公式是初中數學中非常重要的公式，如果這兩個公式學不好，將會影響整式的乘法運算、因式分解、分式的運算、二次根式的運算、解方程、解不等式等等一系列內容的學習，使孩子們在學習中舉步維艱，慢慢失去學習數學的興趣和信心，所以學好這兩個公式擺在了重中之重的位置。怎樣才能學好這兩個公式呢？今天就和大家談一談本人在教學中使用的較為成功的方法。
一、探根源。平方差公式和完全平方公式實際上是多項式乘以多項式，只不過是兩個特殊的多項式相乘，所以完全可以按照多項式乘以多項式的法則進行運算，如（a+b）（a-b）=a·a-a·b+a·b-b·b=a-ab+ab-b=a-b,(a+b)=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+a·b+b=a+ab+ab+b=a+2ab+b,(a-b)=(a-b)(a-b)=a·a-a·b-a·b+b=a-ab-ab+b=a-2ab+b。把中間的「橋梁」去掉，得到「平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b」，「完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b」。
說明：應有整體思想意識，公式中的a和b不是單純的一個字母，而是一個代表，它們可以是數，可以是單項式和多項式，也可以是根式等。如（4xy+3m）（4xy-3m）中4xy相當「平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b」中的a，3m相當於「平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b」中的b，所以（4xy+3m）（4xy-3m）=（4xy）-（3m）=16xy-9m。
二、找特點。平方差公式的特點是「一同一反」，完全平方公式的特點是「都同或都反」。每做一道類似多項式的乘法題，首先觀察兩個括號中的式子是否具備「一同一反」或「都同或都反」的特點，若具備「一同一反」的特點，則用平方差公式計算；若具備「都同或都反」的特點，則用完全平方公式計算；若這兩個特點都不具備，則用一般的多項式乘以多項式的法則來進行運算。例如計算1、（3m-2n）（2n+3m），2、(2n-3m）（3m-2n），3、（-2n+3m）（3m-2n），4、（3m-2n）(2m+3n)。
分析：逐一觀察各式特點，完全相同的打「√」號，完全相反的打「×」號。
第1題，3m符號相同，打「√」號，2n符號相反，打「×」號，所以（3m-2n）（2n+3m）=（3m）-（2n）=9m-4n；
第2題，2n符號相反，打「×」號，3m符號相反，打「×」號，符號都反，這時斷定一定能用完全平方公式，不過得先提取「-」號以後才能應用完全平方公式，於是(2n-3m）（3m-2n）=-（-2n+3m）（3m-2n）=-（3m-2n）=-[（3m）-2·3m·2n+（2n）]=-[9m-12mn+4n]=-9m+12mn-4n。
第3題，3m符號相同，打「√」號，2n符號相同，打「√」號，符號都同，一定能用完全平方公式，於是（-2n+3m）（3m-2n）=（3m-2n）=（3m）-2·3m·2n+（2n）=9m-12mn+4n。
第4題，第一個括號裡有3m，第二個括號裡沒有3m，其它的不用看就可斷定，既不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，只能按多項式乘以多項式的法則進行計算，於是（3m-2n）(2m+3n)=3m·2m+3m·3n-2n·2m-2n·3n=6m+9mn-4mn-6n=6m+5mn-6n.
說明：找特點是很關鍵的一個環節。設計這四個題目的目的有兩個，一個是知道什麼特點的多項式相乘用公式，什麼樣的不能用公式。第二個目的是找特點時，只看符號相同還是相反，與順序無關。
三、用公式。為加深對公式的理解，較為熟練地運用公式，特設計一個題組訓練。計算：(1)（x+y）（x-y），(2)(2x-3y)(2x+3y)，(3)(2x-3y)，(4)(2x-3y)(-2x+3y)，(5)(m－2n＋3)(m＋2n－3)，(6)(2+√3)(2-√3).
總結：做多項式的乘法題先看「同」還是「反「，（1）若「一同一反」，用平方差公式，並且等於」同」的平方減去「反」的平方，與順序無關；（2）若都「同」，直接用完全平方公式，若都「反」，則提取「-」號後用完全平方公式；（3）若不具備上述任何特點，則用多項式的乘法法則計算。
希望今天的方法能夠幫到大家，如果你有更好的方法請留言。