混沌的特徵：在確定性系統中看似隨機的無規律行為；由於確定性的規律，短期內可預測；又因為蝴蝶效應的不可預測性，長期則無法預測。
混沌：蝴蝶效應
混沌的現象引起了一些微妙的哲學問題，這些問題蒙蔽了一些粗心的人。例如，我的幾名學生對蝴蝶效應嗤之以鼻，認為它平淡無奇。我們都知道，小事情確實可以在我們的生活中引起巨大的不同，甚至會影響國家的命運。由於如此多的複雜性、如此多的無法解釋的變量夾雜其中，微不足道的事件有時確實會引發與之不相稱的連鎖反應。下面是一首描述王國沒落的古代詩歌。
斷了一枚釘子，掉了一隻蹄鐵；
掉了一隻蹄鐵，折了一匹戰馬；
折了一匹戰馬，摔死了一位將軍；
摔死了一位將軍，吃了一場敗仗；
吃了一場敗仗，亡了一個國家。
但直到混沌理論出現後，這首詩才得到了廣泛的認同。類似的連鎖反應甚至可以讓最簡單的系統苦惱不已：水輪、旋轉的月球、滴水的水龍頭，這些力學系統中的所有定律都已知，只存在幾個變量。即使在這些系統中，也潛伏著混沌的種子，隨時準備展現它們帶來的驚喜。
另一個微妙之處是：在混沌中，每個點都是不穩定的點。每一刻都是真理的時刻。每一個決定都會產生長期的後果，將你的生活改變得面目全非。當你系襯衫扣子時，你完全無法預知選擇從上向下系還是從下向上系，在其數年後產生的結果會有多麼的不同。我們的生活可能就是這樣的，我們只能沿著一條軌跡前進，所以我們無法知道當我們從下向上系扣子時，命運會發生怎樣的改變。但為了保持心智健康的生活，我們只能相信，幾乎所有的決定都是無關緊要的。電影《雙面情人》（Sliding Doors ）就對這種困境進行了探索，影片中描繪了一個女人生活的兩個完全不同的版本，而這兩種不同的命運取決於在屏蔽門關閉時她是否趕上了地鐵。
相比於混沌系統，有節律的系統並不顯現這種對小幹擾的過度敏感。拍打一個節拍器，它會斷斷續續地移動，但隨後仍會恢復它持續不斷的嘀嗒聲。雖然這會使計時產生偏差，但這種偏差不會隨著時間的推移而增長。通過下面這個假設，我們可以看得更清楚。有兩個相同的節拍器，初始狀態是同步的，幹擾其中的一個，它恢復後就不再與另一個同步，二者之間會有一個固定的時間間隔，這種差異不會增加也不會減小。更普遍的是，當一個非混沌系統受到輕微的擾動，幹擾要麼不增加，要麼增加幅度非常輕微，且與時間長短成比例。
有人說，誤差的增長速度不會快於隨時間的線性增速。這裡的要點是如何進行定量計算。誤差的線性增長暗示，混沌系統至少在原理上是可預測的。潮汐、哈雷彗星的回歸、日食的時間，所有這些都有強烈的節律性，因而可以預測，因為微小的幹擾不會迅速增長成為主要誤差。預測非混沌系統的時間每長一倍，其初始狀態的測量精度就要提高一倍。讓系統多運行三倍長的時間，你的測量精度就要提高三倍。換句話講，可預測的範圍也是線性增加的，它與初始狀態的測量精度成正比。
而另一方面，混沌系統有著一種完全不同的表現方式，正是在這裡，我們開始了解到蝴蝶效應真正令人喪失信心的含義。成功地預測一個混沌系統狀態的時間長度取決於三個因素：我們可以容忍多大的預測誤差；我們對初始狀態的測量精度的高低；我們無法控制的時間尺度，又被稱為「李雅普諾夫時間」，它主要取決於系統本身的內在動力學特性。
粗略地講，我們能夠預測的時間的極限長度即相當於李雅普諾夫時間，此後，真實初始狀態的測量誤差會滾雪球似的迅速增大，超出可容忍的限度。通過降低我們的預測標準或提高我們的初始測量精度，我們總是可以預測更長的時間。但問題是，可預測的極限總是取決於初始測量精度：如果你想預測兩倍長的時間，且仍要達到相同的精度，那麼它將花費你十倍而不是兩倍的努力。如果你有雄心，想預測三倍長的時間，那麼它將花費 100 倍的努力；四倍長的時間就需要 1000 倍的努力，以此類推。在混沌系統中，所需要的初始測量精度是呈指數級增長的，而不是線性增長。
這種指數級增長是毀滅性的。這意味著在實踐中，無論你的儀器有多好，你能夠預測的時間永遠都不會長於李雅普諾夫時間。李雅普諾夫時間限定了一個極限值，超過了它，便無法得到可接受的預測。對於一個混沌電路，極限值大約為千分之一秒；對於天氣，極限值是未知的，但通常來說是幾天的時間；對於太陽系，極限值則是 500 萬年。
太陽系的極限值如此之久的原因是，行星的運動在我們今天看來是完全可以預測的；在人類生命的時間尺度上，甚至整個天文學史中，它們都是可預測的。當我們計算數百年前或數百年後的行星位置時，我們的預測是可靠的。但任何關於 40 億年前，即地球上剛剛出現生命的時候的行星位置說法，都是毫無意義的。
混沌的最後一個微妙之處與潛伏在其中的一種奇怪的秩序相關。混沌不是無形的（再次聲明，不要理會這個詞語的通常意義）。對於它底層結構的暗示表現在了玩具水輪的運動中，伴隨著它永不停息的旋轉和反向。儘管序列從不會完全重複，但它的總體特徵保持不變。混沌擁有永遠不會改變的品質，這是混沌的本質。
▲ 愛德華·諾頓·洛倫茨（1917年5月23日－2008年4月16日），美國數學與氣象學家。混沌理論之父，蝴蝶效應的發現者。
早在 20 世紀 60 年代初，當洛倫茨分析他的小模型時，就將混沌的本質具體化了。它呈現出一種怪異而又陌生的形狀，而不是一個表面，也不是一個固體的體積。當時，現代計算機圖形學尚未問世，將混沌可視化絕非易事。甚至洛倫茨在腦海裡想到了它的樣子之後，還在掙扎著想找到恰當的語言描述其獨特的幾何形狀。他將其描述為「表面無限複雜」，今天我們把它稱為「奇怪吸引子」。
正如圓形是周期的形狀，奇怪吸引子則是混沌的形狀。奇怪吸引子存在於一個被稱為「狀態空間」的抽象的數學空間中，它的軸代表一個物理系統中的所有變量。洛倫茨方程涉及三個變量，所以奇怪吸引子存在的狀態空間是三維的。對於水輪——洛倫茨方程的精確力學模擬，其中一個變量表示了輪子旋轉的速度和方向，而另外兩個變量則表現了水如何分布在輪子邊緣的兩個特定的特徵。這些變量在任意瞬間的數值定義了狀態空間中的一個點，對應於系統在任意時刻的頻閃照片。
在下一時刻，隨著輪子的旋轉、水的流動及重新分配，狀態會發生改變。從一個狀態變化到另一個狀態，系統伴隨著自身的動力學特性而演化，由自己的動力推動前進。就像阿瑟·默裡（Arthur Murray）舞蹈課中的圖解，洛倫茨方程是決定下一步走向何處的規則。它們決定了狀態空間中每個點上無限小的箭頭的方向。無論轉到了哪種狀態，它必須遵循那一點的箭頭方向，這將它立即帶到了一個新的點上。隨著那個瞬間的箭頭方向，它會前進到下一點，以此類推。隨著時間的推移和變量數值的變化，這個點穿越了狀態空間，遵循著一個被稱為「軌線」的連續路徑，就像數學家頭腦中的彗星在假想的空間中運行。這個想法的美麗之處在於，它將動力學特性轉化成了幾何學。混沌運動變成了我們可以看到的圖像，一幅我們可以凝視、檢查和研究的靜態圖像。
混沌是什麼樣的？軌線永遠在狀態空間中四處遊蕩，它永遠不會閉合或交叉，因為混沌從不重複。洛倫茨可以證明，他的軌線永遠被限制在一個特定的大球體內，所以它永遠不會逃逸到無限空間中。軌線被困在這個球裡，永遠在球中無趣地四處遊蕩，它必須遵循一個非常複雜的路徑。我們渴望把它描繪成一個由混亂的線段纏繞成的球體，雜亂無章，沒有任何結構。
但是洛倫茨原始的計算機圖像表明，軌線以一種高度組織的方式運動，只運動到了可移動空間中的一小部分。事實上，它似乎被吸引到了一個特定的表面上——一個纖弱、微觀的薄膜，更巧的是，其形狀像一對蝴蝶的翅膀。軌線環繞在一隻翅膀上，以螺旋形狀離開中心。當它接近翅膀邊緣時，它就會飛奔到另一隻翅膀上，並再次開始以螺旋形狀離開中心。軌線會在每隻翅膀上畫上不計其數的螺旋線，然後跳到另一隻翅膀上，就像水輪在反向旋轉之前沿著一個方向旋轉的次數不可預測一樣。
正當洛倫茨努力想搞明白計算機告訴他的意思時，他了解到了有些事情一定是錯的。他知道軌線不可能被限制在一個表面上：這樣就無法避免軌線出現交叉。蝴蝶的翅膀可能看起來像一個單一的表面，但它們實際上必須建立在無限層上，它們緊密堆積在一起，難以區分，像一層層的雲母片。
這個無限複雜的表面——奇怪吸引子，包含了一種新的有序。雖然軌線的運動細節不可預測，但它總是停留在吸引子上，總是穿過相同的子狀態。它有限的本領解釋了混沌中隱藏的秩序，並解釋了為什麼它的本質永遠不變。
上文節選自湛廬文化《同步:秩序如何從混沌中湧現》, [遇見]已獲授權.