二次互反律的應用以及它的巧妙變換

2021-01-21 電子通信和數學

二次互反律是一個非常強大，非常令人驚訝的素數對之間的關係，這是數學家對非常神秘的素數產生深刻了解的基本方法之一

那麼讓我們看一個非常簡單的例子，一些小的素數，23和7，計算等式的右邊可以得到-1的奇數次方，所以等於-1，

那麼左邊呢，當進入Z/7域時，第一個勒讓德符號很容易計算，23/7餘數是2，我們知道Z/7中2是一個平方數。這意味著我們的勒讓德符號等於1，

並且這直接地為我們提供了第二勒讓德符號的值，這意味著什麼？這告訴我們7在Z/23中不是平方數，的確如此，但是我們怎麼得到這個結論呢？我們並沒有列出Z/23的乘法表，但是我們通過某些方式了解了Z/23中的平方數

現在我們進一步探討二次互反律之前，可以進一步變換下二次互反率，以使其用途更加清晰，假設我們要求出這個勒讓德符號的值，然後我們不去除以第二個勒讓德符號，而是將其乘以第二個符號，為什麼要這樣做呢？第二個符號要麼是1，要麼是-1

因為我們有不同的素數，0在這裡是不可能的，對吧，所以這個平方的符號必定是1，這就是我們要的表達式

二次互反律的應用值得一提，但在這裡不會深入到細節，只是快速的讓你體驗一下，二次互反律是關於奇素數的，那麼那個偶素數呢？對於素數2和任何一個奇素數這裡也有一個公式，

接下來勒讓德符號具有一個非常好的可乘性質，這是一種非常簡潔的方法來表示平方數和非平方數可以和往常一樣相乘——一個平方數乘以非平方數是非平方數等等，我們由此可以快速計算出非常複雜的勒讓德符號，

比如412/389，我麼要問的是412/389的餘數是不是Z/389中的完全平方數，的確我們可以製作一張乘法表，但這是不可能呢，所以必須藉助二次互反率，如下是整個計算過程，很容易得到412/389的餘數不是Z/389的完全平方數

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