二次互反律初步:帶你走進二次互反律的數學世界

2021-01-15 電子通信和數學

上一篇我們得到Z/7平方數的餘數是0,1.4.2,2,4,1，這裡的Z是方陣中任何一個數字，你會發現平方數的餘數是不斷循環的，其實這種規律在任何奇素數對應的方陣中都成立，它的個數被分成除0外的相等的兩部分如：1,4,2,1,4,2，

對於方陣中非平方數的餘數的個數也恰好等於平方數的餘數的個數，如下圖所示

為了方便我們在這裡將方陣中平方數的餘數稱為平方數：如0,1,4,2，非平方數的餘數稱為非平方數：如5.3.6

在Z/7中，平方數(0,1,4,2)乘以平方數(0,1,4,2)還是一個平方數，非平方數(5.3.6)乘以非平方數(5.3.6)還是一個平方數(0,1,4,2)，而平方數(0,1,4,2)乘以非平方數(5.3.6)是一個非平方數(5.3.6),在Z/7中，1的相反數是6，因為1+6=0.而1是一個平方數（平方數的餘數），它的相反數6是一個非平方數（非平方數的餘數），這句話的意思就是1≡-6（mod7）,這對於任何奇素數都成立

我們由此進入二次互反律的視野，要想知道二次互反律就必須要了解勒讓德符號是什麼，它是等式左邊看起來像分數一樣奇怪的正式名稱，

這裡的A可以是任何整數，然而底部的P必須是質數，那麼勒讓德符號將等於0,1或-1，

按照現在的解釋，如果整數A除以P後的餘數為0，則勒讓德符號等於0，即P整數A，那麼對於+1和-1，它們對應於方陣中的平方數和非平方數，換句話說勒讓德符號總結了整數A相對於質數P的二次性

這裡舉個例子：這裡A=70,P=7時，因為70能被7整除導致餘數是0，因此勒讓德符號等於0

對於不是7的整數倍，Z/7中的平方數和非平方數，1,4,2，6,3，5，我們用75代替70，看會發生什麼，我們將得到餘數是5，因為5不是Z/7中的平方數，所以勒讓德符號等於-1,

再來一個例子用72代替75，我們就得到餘數2，這是一個平方數，因此勒讓德符號等於1，你懂了嗎？你真棒

我們再來看看二次互反律，看看我們是否可以理解它，在二次互反律中，P和Q代表了不同的奇質數

然後這條定律告訴我們，如果我們知道P關於Q的二次性，我們就可以立即知道相反的實物，也就是Q關於P的二次性。

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    最近，不少八年級小夥伴宅在家，為了幫助大家更好自學，下面分享八年級下冊數學第六課時內容。二次根式的化簡求值，是中考以及各級各類競賽中的常見題目，其常用的方法有約分法，裂項法，取倒法等。二次根式的混合運算是本章所學內容的綜合運用，運算過程中用到乘法分配律，還需用多項式的乘法法則和整式的乘法公式，於以上分析，可以確定本課的教學重點是運用乘法分配律、多項式乘法法則及乘法公式進行二次根式的加減乘除混合運算。
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