高中數學複合函數深入淺出全面歸納
假如披薩是外函數，菠蘿是內函數，那麼披薩（菠蘿）是什麼？假如菠蘿是外函數，披薩是內函數，那麼菠蘿（披薩）又是什麼樣的？
1.複合函數的定義
如果y是u的函數，u又是x的函數，即y=f（u），u=g（x），那麼y關於x的函數y=f（g（x））叫做函數y=f（u）（外函數）和u=g（x）（內函數）的複合函數，其中u是中間變量，自變量為x，函數值為y。
理解複合函數的定義∶
假如披薩是外函數，菠蘿是內函數，那麼披薩（菠蘿）就是菠蘿餡料的披薩；
假如菠蘿是外函數，披薩是內函數，那麼菠蘿（披薩）就是菠蘿上面擺放幾塊小披薩。
2.複合函數定義域
（1）複合函數的定義域，就是複合函數y=f（g（x））中x的取值範圍。
（2）在外函數y=f（u），內函數u=g（x），複合函數y=f（g（x））中，
x稱為直接變量，u稱為中間變量，u的取值範圍即為g（x）的值域。
（3）f（g（x））與g（f（x））表示不同意義的複合函數。
（4）若函數y=f（u）的定義域是B，u=g（x）的定義域是A，則複合函數y=f（g（x））的定義域是 D={x|x∈A，且g（x）∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。
① 已知f（x）的定義域為（a，b），求 f（g（x））的定義域的方法∶
已知f（x）的定義域為（a，b），求f（g（x））的定義域。實際上是已知中間變量的u的取值範圍，即 u∈（a，b），g（x）∈（a，b）。通過解不等式a<g（x）<b求得x的範圍，即為f（g（x）的定義域。
② 已知f（g（x））的定義域為（a，b），求f（x）的定義域的方法∶
若已知f（g（x））的定義域為（a，b），求f（x）的定義域。實際上是已知直接變量X的取值範圍，即x∈（a，b）。先利用a<x<b求得g（x）的範圍，則g（x）的範圍即是f（x）的定義域。
3.求函數的定義域主要應考慮以下幾點
（1）當為整式或奇次根式時 ，R為值域;
（2）當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）;
（3）當為分式時，分母不為0;當分母是偶次根式時，被開方數大於0;
（4）當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0。
（5）當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。
（6）分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的併集。
（7）由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求。
（8）對於含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函數的定義域為非空集合。
（9）對數函數的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。
（10）三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。
4.複合函數單調性
由y=f（u），μ=g（x）的單調性來決定。即"增+增=增;減+減=增;增+減=減;減+增=減"， 可以簡化為"同增異減"。
"同增異減"的含義就是：如果f（u）與g（x）同為增函數或同為減函數，則f（g（x））在其定義域上為增函數；如果如果f（u）與g（x）中一個是增函數另一個是減函數，則f（g（x））在其定義域上為減函數。
（1）求複合函數的定義域;
（2）將複合函數分解為若干個常見函數（一次、二次、冪、指、對函數）;
（3）判斷每個常見函數的單調性;
（4）將中間變量的取值範圍轉化為自變量的取值範圍;
（5）求出複合函數的單調性。
5.複合函數的奇偶性與周期性
奇偶性由f（g（x））的定義域，以及y=f（u），μ=g（x）的奇偶性來決定。
即"一偶則偶，同奇則奇"。
"一偶則偶，同奇則奇"的含義就是：
（1）如果f（g（x））的定義域關於原點對稱，則f（g（x））才可能是奇函數或偶函數。否則就是非奇非偶函數。注意這一點是判斷奇偶性的前提。
（2）如果f（u）與g（x）中至少有一個是偶函數，則f（g（x））為偶函數；如果如果f（u）與g（x）都是奇函數，則f（g（x））是奇函數。
複合函數的周期性口訣:設y=f（u）的最小正周期為T1，u=g（x）的最小正周期為T2，則f（g（x）的最小正周期為T1*T2，任一周期可表示為k*T1*T2(k屬於R+)。
6.求與複合函數相關的函數解析式
①已知f（x）求複合函數f（g（x））的解析式，直接把f（x））中的x換成g（x）即可。
②已知f（g（x））求f（x）的常用方法有∶ 配湊法和換元法。
配湊法∶就是在f（g（x））中把關於變量x的表達式先湊成g（x）整體的表達式，再直接把g（x）換成x而得f（x）。
換元法∶就是先設g（x）=t，從中解出x（即用t表示x），再把x（關於t的式子）直接代入 f（g（x））中消去x得到f（t），最後把f（t）中的t直接換成x即得f（x）。
7.複合函數求導方法
複合函數求導公式：若y=f（g（x）），則y′=[f（g（x））]′=f′（g（x））·g′（x）。
例如：y=（2x+3）^2可以看做是y=u^2與u=2x+3的複合函數，根據複合函數求導公式得：
y′=[f（g（x））]′=f′（g（x））·g′（x）=（u^2）′·（2x+3）′=2u·2=4u=8x+12。