人教版高一數學必修一新教材封面
基本函數的單調性有時難以成為一套試題的亮點，於是複合函數的單調性考查也就應運而生了。
一、複合函數的形成過程及複合函數的外層函數和內層函數
複合函數是指兩個或多個函數通過互相代入後得到的新函數。高中階段一般只考查由兩個函數構成的複合函數，其一般形成過程是，外層函數y=f(u)，內層函數u=u(x)，複合成為y=f(u(x))。具體簡單實例如下圖所示：
簡單複合函數的內外層函數舉例
二、複合函數的單調性
複合函數的單調性法則是「同增異減」。具體內涵為，假設一個複合函數的解析式為y=f(u(x))，則其外層函數為y=f(u)，內層函數為u=u(x)。
（1）如果在一個區間上以u為變量的外層函數y=f(u)和以x為變量的內層函數的單調性相同（同增或同減），則y=f(u(x))為這個區間上的增函數。
（2）如果在一個區間上以u為變量的外層函數y=f(u)和以x為變量的內層函數的單調性相反（「內增外減」或「內減外增」），則y=f(u(x))為這個區間上的減函數。
上面複合函數的增減，可以用數學式子和符號簡化為下圖所示四種情況：
複合函數同增異減的四種具體情況
判斷複合函數在某區間上的單調性的例題解析，如下圖所示：
複合函數單調性判斷的例題解析
生活中一次不經意的付出，有時卻會收到意想不到的效果；課外時間一次刻意的努力，也許正是自己日後走向人生巔峰的第一步！
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