高斯公式最重要的一個應用, 計算套路滿滿的!

2021-02-20 數學考研李揚

高斯公式最主要的一個應用就是計算一類與路徑無關的曲面積分, 而我們常見的與路徑無關的曲面積分只有一個!!!就是它(注意下面是3/2次): 

記住: 這個東西一用高斯公式就是零! 不過這個傢伙有一些變形, 在下面的題目中大家總結一些就OK! 

接下來是兩個練習題: 

來, 開始練習! 首先, 最簡單的一個應用, 直接脫口而出: 答案為 4π! 因為我們知道這裡給的積分區間可以換成球面 x^2+y^2+z^2=1, 然後積分函數的分母變成了 1. 這時候原點就不是瑕點了, 這時候再用高斯公式: 

下面這個題目中, 顯然所給的積分曲面是一個嚇人的曲面, 由於積分函數與路徑無關, 所以我們可以給它改成半徑為 r 的上半球面, 然後分子就變成常數了, 這時候我們可以直接算, 也可以補一塊變成封閉的半球, 然後用高斯公式. 由於是半球, 最後的結果是 2π. 

下面的題目顯然就是對 x, y, z 做了一個平移而已, 這時候積分區域仍然包含瑕點 (1,2,3), 所以積分值必然是 4π. 我們做題的時候, 可以令 u=x-1, v=y-2, w=z-3, 然後裝模作樣去證明積分函數與路徑無關, 也就是 P_u+Q_v+R_w=0, 最後再用挖去小球的辦法得出結果. 另外, 如果直接驗證 P_x+Q_y+R_z=0 也是可以的, 不過會比較麻煩, 最後是同學給的一個解答, 供大家參考(寫的有點歪):

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