在一般認知裡，溫度和時間是兩個截然不同的物理量，現在物理學家可以通過一種數學上的騷操作把它們聯繫起來，甚至可以「互換」。這個操作就是威克轉動（Wick Rotation）——把時間變為虛時間。虛時間的引入，能使量子力學和統計物理中的問題相互轉化並求解。儘管物理學家尚不十分清楚這一操作背後的物理本質是什麼，但它一直是處理各種物理問題非常有效的工具，現在就來看看威克轉動的神奇之處吧！
撰文 | 董唯元
物理學的魔力之一，就是能夠將原本看似不相關的事物聯繫起來，從而揭示出自然規律更深刻的本質。在牛頓之前，恐怕沒有人會相信，蘋果落地與日月星辰的運行，背後由統一的規律在支配。今天我們要聊的時間與溫度，也是兩個貌似無關的物理對象，但是通過一種數學操作，它們之間的神秘聯繫就能顯現出來！
雖然現在物理學家還無法完全理解這種聯繫的本質，但作為一種跨界處理問題的工具，它已經顯示出了驚人的威力。像黑洞輻射溫度這類原本看似無法下手的計算，現在竟然可以非常輕鬆地完成，其難度甚至不會超過高考數學壓軸題。正是這種神奇的魔力，使許多物理學家都逐漸開始相信，這種數學操作的背後，一定還隱藏著尚未充分挖掘的深層物理奧妙。
用虛數計量時間
在相對論時空中，兩個事件之間的距離ds是個不隨參照系改變而變化的量，用自然單位制c=1簡化後，事件距離ds滿足的關係就是
ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2
這套分配給坐標 (t, x, y, z) 的係數 (-1, 1, 1, 1)，稱為閔可夫斯基度規，對每一位學習相對論的同學來說都是再熟悉不過的日常。不過既然時間和空間已經整合成了一體的時空，人們便總是希望能對稱地看待時空中的四個坐標，閔氏度規中的-1就顯得有些破壞對稱美。
當然，將閔氏度規 (-1, 1, 1, 1) 更換成歐幾裡得度規 (1, 1, 1, 1) 的方法，肉眼可見的簡單，只要將時間變成虛數
就可以得到
這個由實數時間向虛數時間的變動，就稱為威克轉動（Wick Rotation）。
威克轉動不僅可以讓線元ds的表達式變對稱，如果強迫症上身，其實可以將所有波動方程都由
的形式，寫成
這種更對稱的樣子。
既然威克轉動帶來的形式外觀如此優雅，為什麼在相對論的入門教科書中卻極少使用呢？這主要是因為，數學形式上的和諧對稱未必能幫助初學者理解掌握其物理內涵。比如我們經常說：兩事件之間 ds^2＜0 表示他們在同一個光錐內，可以存在因果關聯；而 ds^2＞0 時就鐵定不存在因果關聯。可是威克轉動後 ds^2＜0 的情況會消失，對初學者理解世界線的「類時」和「類空」反倒添了麻煩。不過在引力理論中，威克轉動還是會顯現威力，相關內容會在後文介紹。
量子現象在虛時間中的經典圖像
要說引入虛時間後能幫助直觀理解的例子，量子隧穿現象就很有代表性。這種早已人所共知的現象，是量子力學課堂上的常見習題，但用經典牛頓力學似乎無法求解。按照牛頓定律
粒子所攜帶的動能
只有E＞V的地方，才能解得出粒子的位置x，而在E＜V的地方則根本不存在x的實數解。這是我們在中學物理課上就已經熟悉的結論。
當我們將時間換成虛數，
會看到牛頓定律的方程變成了
動能E變成了
原來，在虛時間的世界裡，勢能和動能都被加上了一個負號，於是粒子的位置x就只能出現在E＜V的地方。
這個在虛時間世界裡的解，剛好可以完美描述量子隧穿行為。處在虛時間過程中的贗粒子被稱為瞬子，而量子隧穿就可以看做是瞬子在「勢阱」裡從一端運動到了另外一端，其運動過程和軌跡完全遵守牛頓定律，只是將時間變成了虛時間。沒想到吧，在虛時間的幫助下，我們居然可以用牛頓力學的經典軌道來描述量子行為。
之所以能將飄忽的量子效應拉回到經典圖像之中，是因為量子理論中很多奇特效應，反映在數學形式上就是以複數的形式體現。如果虛時間出現的位置合適，剛好就可以把這些複數變量重新變成實數。
不過更為有趣的是，虛時間的引入居然可以使量子力學與熱力學產生許多微妙的聯繫。
聯結兩個算符
量子力學中有個時間演化算符，描述粒子隨時間推移由一個量子態演化到另一個量子態的過程。熱力學裡有個密度算符，表述純態在混合態裡的統計佔比。對比演化算符
和密度算符
不難看出二者的相似，只要勇敢地做出
替換，就可以相互轉換。
可是這種純數學上的「換元」操作，背後有物理意義嗎？聯想到密度算符中的β其實就是玻爾茲曼常數k與絕對溫度T乘積的倒數，也被稱為逆溫度，而溫度又與熵S對能量E導數有關，所以這種轉換中暗示了虛時間與熵變之間的聯繫嗎？
應該說這種腦洞有些過於寫意，至少在沒有足夠具體的圖像來支撐之前，不能隨便做出這種推測。不過稍稍退回半步，關於虛時間與溫度之間的聯繫，倒是確實已經有非常「物理」的內容，並且已經在理論研究中發揮著日益重要的作用。
最直觀的解讀就是，虛數單位i配合著實時間t一起出現在指數位置，這說明實時間其實是相位自由度，負責描述概率幅變化。在熱力學的平衡態系綜裡，恰恰缺少了相位自由度，但同時多了另一個描述概率分布變化的參數，那就是溫度。從這一點來看，直接把逆溫度β與虛時間歸為同類，至少當做哲學作業是可以交差了。
當然這種「因為缺骰子所以改擲硬幣」的解讀還是過於粗淺且模糊，如果現在就聲稱二者在物理上有什麼內在一致性，恐怕很多人都還會滿腹狐疑。相位有周期性重複，而實指數分布則不存在周期。況且時間在我們的認知裡一直是個維度，很難相信溫度也能充當維度的角色。兩者的體貌特徵實在差距太大，硬說是一對雙胞胎，實在難以令人信服。
在進一步了解它們的物理意義之前，我們不妨先看看虛時間到底在哪些地方發揮了怎樣的作用。
路徑積分中的虛時間
費曼的路徑積分理論，物理圖像十分精彩，但具體數學操作卻很容易嚇倒一些初學者。引入虛時間的威克轉動，就是經常用來簡化路徑積分的一大利器。
在討論粒子運動的語境中，路徑積分的意思是：粒子從A點走到B點的過程中，並不是留下一串固定的腳印，而是離開A點後立即化做無數的分身，這些分身同時經過了所有可能的路徑，最後在B點又匯聚在一起。其中每一條路徑上的分身，都對最終達到B點的概率做出自己的一份貢獻。具體的貢獻內容，就是狀如e^（i/S）這樣一個相位，指數中的S是分身在路徑上的作用量，也就是拉氏量L的積分。
計算一條路徑的作用量和相位貢獻貌似不難實現，但是如何把無數條路徑的貢獻累加在一起，則要頗費一番功夫。圖中的「
」看起來謎之輕巧，但它其實是路徑積分專屬特殊標識，代表所有分身合力完成的無窮多重積分。
之所以解釋這些，就是為了請讀者感受一下這個貌似簡單的
背後，到底隱藏著多少複雜繁瑣的計算內容。如果給出粒子拉氏量L的具體形式進行實際計算的話，往往不能直接暴力求解，而需要先做許多鋪墊動作，有些情況甚至根本無法計算。
下面我們來看看威克轉動到底能幫上什麼忙。
首先是拉氏量L的變化。如果把
代入，會發現一個不顯含時間的拉氏量居然變成了形似哈密頓量的樣子，不過別忘了我們是在虛時間內，這個並不是哈密頓量，姑且把它就看做一種「鬼魂能量」吧。
然後再考察作用量S的變化。令
也就是讓分身改用虛數計時，那麼原來的作用量S就變成了虛數。
最後我們再另外定義一個實數的歐幾裡得作用量SE，也就是剛才那種「鬼魂能量」的積分。
到此就變形完畢。
來檢查一下如此折騰一番之後，世界有沒有變得更美好。我們發現，引入虛時間後，每個分身所攜帶的貢獻，由原本狀如e^（iS/）的相位貢獻，變成了
這樣的指數率貢獻。這就有趣了。
在沒引入虛時間之前，我們對路徑積分的認識是：不同分身之間存在相位差，某兩個分身的相位相反時就會互相抵消。而是非常小的量，這使得路徑稍有不同的兩個分身，他們之間的作用量差異就可以使相位貢獻差異很大，於是來自眾多路徑的貢獻紛紛相互抵消，最後只剩下經典路徑的貢獻。
而引入虛時間之後，所有路徑都提供正向貢獻，正負相抵的情況不再存在。不過不同路徑的貢獻程度不同。經典路徑，也就是最短路徑，因為歐幾裡得作用量最小，所以貢獻程度最大。而偏離經典路徑的那些分身，他們的貢獻度指數級衰減。看，雖然外表有變化，但同樣使路徑積分理論與經典情況順暢銜接。
現在我們再來回頭審視前面提到的，虛時間和溫度在物理意義上關聯程度的討論，也就是描述概率幅的相位，與描述概率分布的指數率，這二者之間的內在一致性，似乎就沒那麼難以接受了。而接受了這種內在一致性之後，量子力學與熱力學之間便架起了寬敞的大橋，許多原本只在自身領域發揮作用的理論工具，都有機會服務於另一領域的棘手問題。
其實在高階量子理論尤其是路徑積分工具的使用中，來自熱力學的關聯配合已經非常緊密。以至於幾乎每一本涉及路徑積分的教材裡，都會像植入廣告一樣適時地插入一段介紹熱力學的章節。初學者也許會丈二和尚摸不著頭腦，以為編輯排版出了差錯。而對熟手來說，「不懂熱力學的路徑積分都是假的路徑積分」似乎已然成為一種共識。
溫度相當於循環的虛時間
熱力學裡配分函數幾乎是一切計算的開始，其意義是系綜所有微觀狀態總數。能量為E的微觀狀態數是e^（-βE），所以這個總數自然就是密度算符
所有本徵值之和。
利用威克轉動將逆溫度β視作虛時間，我們也可以把配分函數也寫成路徑積分形式。
其中虛時間τ範圍為
且行走在一條閉合的「路徑」上，即q(0)=q(β)。注意這裡的q不再是粒子的空間坐標，而是代表系綜的狀態。
具體推導過程需要用到傳播子概念，為了趕時間，此處省去五千八百字。如果有讀者不能釋懷，不妨從路徑積分的物理圖像中感受一下：站在終點B點處看那些來自起點A點的那些大量粒子分身，不也是一種「統計」問題嗎？那些行走在不同路徑上的分身，就相當於系綜裡的不同微觀態。其中由
所積的每一個
都是來自某個具體微觀態的貢獻。
比推導過程本身更值得提的，是這個閉合成環狀的虛時間維度。之所以出現這樣的周期性條件，是由類比路徑積分的傳播形式得到。這與熱力學教科書中不分青紅皂白給出的有限空間周期性邊界條件似為巧合，究其本質，其實都是應概率均勻性要求而得出的必然結果。
但是一個名字中帶有「時間」二字的維度，居然呈現出循環閉合的樣子，難道我們要像科幻電影中的場景一樣，不斷重複著昨天嗎？沒錯，熱力學告訴我們，如果把溫度看做虛時間的話，那麼它就是這樣一個閉合循環的奇特「時間」維度。看來企圖在這個維度上尋找因果關係肯定會令人失望，我們還是索性把它視作一種類似空間的維度更舒服些。不過還是要注意，這裡維度τ是有固定方向的單向維度，這一點與空間維度略有區別。
總之，當我們利用威克轉動把溫度視作一種虛時間維度後，會發現一些新奇的特性，與原本的時間維和空間維都有所不同。這些特性所隱含的有趣規律，在後文介紹量子場論結合熱力學的時候會提到。現在，我們先閃回到配分函數的路徑積分表示。
這裡包含著每一個微觀態，其貢獻是
同時熱力學告訴我們每一個能量級別E所包含的微觀態數量為e^（-βE）。對比兩者，再打開腦洞發揮想像力——我們可以為每一個微觀態構建其動力學圖像。
這個略顯「無釐頭」的把戲有什麼實際用處呢？一方面，這個機械性的小環圖像，可以輔助我們將熱力學問題解讀為動力學問題，從而獲得額外的解決思路；另一方面，其實我們還能反向使用這個圖像，當遇到形式類似歐幾裡得作用量這般的動力系統時，不妨嘗試利用威克轉動，將其變成熱力學問題來求解。
量子場問題的「降維打擊」
狄拉克方程和楊-米爾斯理論問世以後，人們認識到構成物理世界的基礎並不是粒子，而是一系列規範場。我們所討論的粒子，只不過是場的激發，或者借用經典概念來說，就是個波包。在研究這些四處瀰漫且肆意抖動的場時，費曼路徑積分思想就成為了非常重要的工具之一。
當然，與粒子版本的路徑積分相比，規範場的路徑積分在數學形式上要更麻煩一些。在這些到處都是無窮的式子裡，如果想著手處理實際問題，不知道會抓掉多少頭髮。好在還有威克轉動這一護髮神器相助，才能在惱人的無窮之中巧妙地找到有窮。更具體地說，一些無窮變有窮的秘密，就藏在那個兜圈的虛時間維度裡面。
對規範場的路徑積分進行威克轉動後，周期性邊界條件仍然存在，也就是說虛時間維度τ，仍然是一個周長為β的閉合環。略有區別的是
玻色子取正，費米子取負。
當我們把虛時間τ視作某種類似空間的維度時，一個理所當然的屬性就浮現了出來：如果這個維度上存在滿足周期性邊界條件的波，那麼對其傅立葉分解後只能得到離散的頻譜。就是這麼個非常平常的事實，在熱力學與量子場論結合的地方發揮了非常重要的作用。
這個重要結論就是：在有限溫度條件下，規範場具有一組離散的虛頻率，這種虛頻率被稱為Matsubara頻率。
對玻色子，繞環一周相位相同。
對費米子，繞環一周相位相反。
而頻率又對應著能量，於是我們就發現，原來這個維度裡藏著一個離散的「鬼魂能量」譜。「鬼魂能量」又可以作為處理許多統計問題的出發點。這下好了，終於可以躲開無窮做計算了。
不過這個離散能譜的存在，並不能幫我們甩開所有的無窮，實際上它只是幫我們減少了一個維度上的煩惱。換句話說，藉助威克轉動，用虛時間維度的離散譜，消除了原本在實時間維度上那些連續且不可數的痛苦。在專業人士口中經常流傳的一種說法就是：威克轉動可以將n維的量子體系問題，轉化為n-1維的熱力學問題。當然轉化是雙向的，如果在量子場論中的工具更合適，不妨也可以將n-1維的熱力學問題轉換成n維的規範場問題。
計算黑洞的溫度
本文開始的時候提到虛時間在引力理論中也會發揮威力，現在我們就以黑洞輻射溫度這個例子來填前面挖的坑。在1974年霍金髮表的論文中，用了幾頁篇幅才完成的推導過程，我們這裡將使用威克轉動神器秒殺之。
讓我們先用球坐標史瓦西度規寫出時空線元表達式。
這裡同本文開始一樣，也採用c=1的自然單位制來偷懶。其中Ω是球面對應的空間角。
我們第一眼看到表達式就能看出r=2GM是重要分界處，它就代表黑洞的視界。r＞2GM的位置在黑洞之外，而r＜2GM時就進入了黑洞內部。再看第二眼，還能發現黑洞視界內外的時空度規正負號出現了變化，進入黑洞後，時間項的度規由負數變成了正數，而空間項的度規則由正數變成了負數。也就是說，黑洞內部出現了時間維度與空間維度互換。這種時間與空間互換的奇特結構，正是支撐黑洞產生熱輻射的物理基礎。
我們知道真空中充斥著能量漲落，隨時會有一對粒子產生，轉瞬間再相互碰撞湮滅。雖然這種向真空借取的能量似乎破壞了能量守恆，但不確定性關係會逼迫這種憑空借貸必須在極短時間內就要償還，過後一切如常能量守恆律完好無損。然而這種隨處上演的劇本，卻在黑洞視界處有了不一樣的情節安排。
當一對憑空產生的粒子對中，如果有一個粒子腳下一滑落入黑洞視界以內，它們的分手就無法破鏡重圓了。因為黑洞內的時間空間互換結構，落入黑洞內的粒子能量變成了動量，動量變成了能量。這種「變性」之後的粒子，已經不能再回到從前伴侶的身邊了。
真空漲落中的粒子對能量都是一正一負，如果攜帶正能量的粒子被黑洞吞噬，其結果就跟吞噬了普通物質一樣，剩下的負能量粒子早晚要跟其他正能量粒子再次碰撞湮滅。如果黑洞吞噬的是負能量粒子，那麼剩下的正能量粒子就是黑洞向外界的輻射。同時，黑洞自己因為誤服了負能量的粒子，體重也會下降，這也從總體上保全了能量守恆律的顏面。總之，整體效果就是黑洞犧牲了自身體重，來向外發出熱輻射。這就是黑洞具有溫度的物理原因。
了解了這個物理機制之後，請讀者此處暫停片刻，思考一下對黑洞溫度的具體求解應該從哪裡入手呢？
如果一時沒有思路，就再看第三眼上面那個史瓦西度規的線元表達式吧，畢竟那裡是我們推導過程的起點。
僅憑中學數學的功底，我們就可以大致看出些它所描述的時空樣貌。當我們距離黑洞很遙遠時，r＞＞2GM，時空就退化成了完全平直的樣子。
這裡標顏色的原因，一分鐘後就知道了。
好了，事不過三，我們不能再停留在那個線元表達式上面了。接下來要做的，當然就是變形出發。
變形的第一步無懸念，就是將時間替換成虛 t→-iτ 數，不過這還不夠，我們還需要引入一個新的變量x。
這樣一番代入整理之後，時空的樣子變成了這樣
現在我們眼睛只盯住
關係，再對比變形出發之前的最後一個式子。不難發現，我們現在構造出來的也是一個平直空間，
扮演了空間角的角色，不過現在是在
二維平面內討論，這個
就變成了平面內的一個角。
平面是平直的連續空間，當x→0時，空間度規仍會與周圍繼續保持一致，於是就必須滿足
別忘了τ是以β為周長的環，也就是
於是就這麼輕鬆愉快地得到了黑洞溫度。
前面一直偷懶使用c=1自然單位制，換回普通單位制。
這就是我們要求解的黑洞輻射溫度。
隱藏的秘密仍待發現
得出黑洞輻射溫度，只是循環虛時間這一概念在引力理論中眾多應用之小小示例。但已經非常明確地顯示出，威克轉動這個數學小技巧似一道神奇的令牌，竟然可以兮乎間調動來自量子理論、熱力學以及時空引力理論等諸多方面的神兵共同出陣。其魔力究竟源於哪裡，至今仍是物理學家們頗為好奇的疑問。
另外，一些依靠循環虛時間概念所展開的理論研究，也在迅速發展之中。例如一個名為歐幾裡得量子引力的理論系統（EQG，Euclidean Quantum Gravity），就已經將虛時間作為主要武器，在探索引力量子化、宇宙暗能量和宇宙創生等方面都取得了不俗的成就。