搞錯了,0.9的循環是等於1,但不是恆等於1

0.999……無限循環等於1嗎？這是非常老的一道題，相信絕大部分人都聽說過。

先說筆者的答案：等於1，但不恆等於1。

等於1很好證明。

令X=0.999……，10倍的X即10X=9.999……。

10X-X=9X，也等於9.999……-0.999……=9。

由此可得9X=9，X=1，所以0.999……=1。

但是曾經在抖音上看了嚴伯鈞老師的講解後，知道了這題還有不等於1的情況，所以有了後半句話：不恆等於1。

證明方法如下，令：

n=1時，X=0.9；

n=2時，X=0.99；

n=3時，X=0.999；

以此類推，當n趨向於無窮大時，X=0.99999……，即：

假如0.99999……恆等於1的話，那兩者無論做加減乘除或其他任何一種數學運算，只要運算過程相同，得到的結果應該始終是相同的。可惜，這題做不到，問題出在乘冪計算中。

將1和0.99999……分別做10的n次方的乘冪運算，且n趨向於無窮大，即：

1的任何次方都等於1，所以前者等於1，那照理，後者也等於1。可惜，後者可以改寫成：

而這個極限，又等於：

e是自然對數，約等於2.71828，很顯然，1/e不等於1。

在乘冪情況下，0.99999……又不等於1。

由此，回到了本文開頭的答案：等於1，但不恆等於1。