河北名師殷玉波:我與數學欣賞

【作者簡介】殷玉波，河北省保定市第三中學數學高級教師，《中學數學教學參考》雜誌編委。主要研究方向有高考備考和數學文化與數學美。2009年至今，在《中學數學教學參考》、《數學通訊》等國家級學術期刊發表文章70多篇，其中5篇被中國人民大學資料複印中心《高中數學教與學》全文轉載。

我與數學欣賞

殷玉波（河北保定三中）

我第一次見到數學欣賞這個名詞是在中學數學教學參考2010年1-2期，當時第一篇就是著名數學教育家張奠宙先生與柴俊博士合寫的文章《欣賞數學的真善美》，我對這篇文章愛不釋手，每天都看，裡面的很多內容幾乎能背下來。看了張先生的文字，我激動和慚愧。激動的是數學原來可以這麼美好，慚愧的是我所教的數學是死的，張先生的數學是鮮活的有生命的！所以，我要努力，開發數學中蘊含的真善美，體會欣賞數學的真善美，賦予數學生命與活力。

在隨後的幾期中陸續刊登了幾篇，每篇我都認真學習。後來，大概是2010年10月，我去北京的火車上，突發靈感，寫了一篇《欣賞橢圓》，得到張先生很高的評價，後來一直默默努力，學習、思考和寫作，到目前已經發表了幾篇。數學欣賞給我的教學帶來了無限生機和樂趣，我願意把我的個人體會介紹給大家。

1.什麼是數學欣賞？

欣賞的中文含義是領略、讚賞、觀賞、喜歡，還有佩服。包含著一種在喜好、傾慕的前提下愉快、積極的接受、沉浸並享受某種客體（或對象）的情感。可見欣賞是一個與主觀意識和心理傾向緊密相關的概念。

數學欣賞的概念在實際語境中遠比想像的要複雜些。經過幾年的學習思考，我個人更認同張景中院士的觀點。什麼是數學欣賞呢？現在，我是這樣認為的：

數學欣賞是教育數學的一部分。教育數學是著名數學家張景中院士早在1995年提出來的一種思想，其目的就是把數學做的簡單一些。張院士說，「把學數學比作吃核桃，核桃仁美味而富有營養，但要砸開才能吃到它。數學教育要研究的，是如何砸開核桃吃核桃，重點在教育。教育數學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營養，更容易砸開吃淨，重點在數學上。簡單地說教育數學就是改造數學使之更適宜於教學和學習，是教育數學為自己提出的任務。」

改造數學使之更適宜教育和學習，這些更多的是數學家和數學教育家的任務。中學老師們主要是把數學大師們開發培育的優良果實進行深加工，加上輔料、增加一些地方特色等，使得老少鹹宜，更有利於吸收，這應該是數學欣賞的目的和任務。

還可以理解成，數學大師們就是花匠，負責哺育改良花的品種，中學老師不一定會種花，但是要會賣花。要把這些花賣出去賣得好，最好會賞花，知道這些花美在何處。如果還會插花，那麼你的花一定能賣得更好。我想這也是數學欣賞的目的之一。

總之，我認為數學欣賞就是把學術形態的數學，轉變成教育形態的甚至具有藝術形態的數學。

2．數學欣賞要欣賞什麼？

在數學中，哪些內容可以成為欣賞的對象呢？著名數學家丘成桐曾接受《光明日報》記者採訪時說：「數學是一門很有意義、很美麗、同時也是很重要的科學，從實用角度講，數學遍及物理、工程、生物、化學和經濟，甚至與社會科學也有很密切的關係。文學最高境界是美的境界，而數學也具有詩歌和散文的內在氣質，達到文學性的方面，達到一定境界後，也能體會和享受到數學之美。數學既有文學性的方面，也有應用性的方面，我對這些都感興趣，探討它們之間妙趣橫生的關係，讓我真正享受到了研究數學的樂趣。」

可見，在邱先生來看，數學具有真善美三個層次的表現力。數學之美具有簡潔、生動、應用性等特徵，數學之美滲透於數學的知識、結構和模式中。

3. 什麼是數學的真善美

朱光潛說萬事萬物都具有真善美。真是指科學性，善是指實用性，美是指美感。所以所謂數學的真，就是數學的真理屬性。數學的善，則是指數學的應用價值。至於數學的美，則是數學藝術價值的一種體現。

4.如何進行數學欣賞

張奠宙先生說：欣賞， 是教育的一部分。數學教育則是為了欣賞數學文化和數學思維的真善美。數學教育缺少了「欣賞」環節，使得許多人無法喜歡數學，以至厭惡數學，遠離數學。那麼如何進行數學欣賞？

張奠宙先生進一步指出，欣賞數學的真善美大致有以下途徑。

* 對比分析， 體察古今中外的數學理性精神；

* 提出問題， 揭示冰冷形式後面的數學本質；

* 梳理思想， 領略抽象數學模型的智慧結晶；

* 構作意境， 溝通數學思考背後的人文情景。

以文《欣賞橢圓》為例。文中主要說了以下四個方面的內容：

(一) 從克卜勒到嫦娥飛天，欣賞橢圓應用之美；——善

(二) 從外形欣賞橢圓，感受橢圓圖案之美；

（三）從學術形態欣賞橢圓，感受數學之理性精神；——真

（四）從教育形態來欣賞橢圓，感受美能啟真。——美能啟真

其中（一）、（二）兩方面主要介紹了我們看到的、了解到的橢圓，是真實的橢圓，感受到橢圓實實在在的美，但是這樣的橢圓沒有思維的介入，不是數學上的橢圓。所以，在第（三）部分通過對比三種橢圓的證明，欣賞數學中的橢圓，感受數學的理性精神。通過對比還發現用解析法證明非常簡單，這是為什麼呢？分析原因，查找證據，得出「對比三種證法，不能僅僅滿足於證法3的簡單，應著重欣賞其背後蘊含的重要思想和重大意義。」這樣就把解析幾何的意義也揭示了出來。

後面的美學設計，就是課堂實錄。在推導標準方程過程中，突然發現式子是整式，而且很對稱，符合美學標準，而標準方程是分式還不對稱，為什麼還要化成標準形式呢？於是就產生了文中的對話。

這段對話也給了我巨大的啟發，正如丘成桐先生所言：數學之美滲透於數學的知識、結構和模式中。數學的美其實也蘊藏在我們的日常教學生活中。

5.我與數學欣賞

我與數學欣賞從2010年開始結緣。經歷了幾個春秋，我也做了很多努力，有很多探索。我認為數學的真善美不能僅僅用來欣賞，更要有發現美、呵護數學美的心靈。

以下幾個方面的個人思考，也許能給大家一些啟發：

5.1並不成功的數學欣賞課

當初開設數學欣賞課有兩個想法，一是提高自己的認識水平，再就是看看學生的反映。當時正好教高一，有時間去培養學生對數學的審美情趣，初步計劃每周上一節，每個學期上四節，邊學習，邊總結。

第一期（高一下學期），我主要是和學生一起學習雜誌上的文章，我把這些文章複印後發給學生們，課上一起討論學習。學習文中的例子，體會其中的數學意境，分析其中的數學意義。討論也是以文章中的例子為線索，模仿文中的例子自己構造一些事例，然後進行對比分析。

但是，很艱難，多年的機械的數學解題訓練，學生的大腦幾乎僵化；學生的課業負擔很重，很多人都是帶著作業去的。由於一些內容與考試無關，與他們的學習內容無關，所以他們就一邊聽我講，一邊寫作業。就這樣，第一期上了四節課就草草的結束了。

第二期（高二上），這一期又上了四節課。經過一段時間的自我學習，結合學生實際進行了自主研發，用真善美的觀點直接與學生的實際問題接觸，發生碰撞，看看能不能撞擊出火花。這次有一定效果。舉例如下：

通過與學生一起學習我也很受啟發，數學欣賞不能為了欣賞而欣賞，必須源於現實生活，用於課堂，這樣學生才會真的喜歡。

以上工作，對於數學欣賞來說，是很膚淺，雖然功利化傾向嚴重，但是畢竟有了一些起色。

第三期（高二下），只上了一節課就被迫停止了。經過長時間的薰陶，這時候我和學生們都有了很大進步。這次上課就是一個題目：在數學上有很多「規定」，為什麼要這麼規定？難道是「約定俗成」還是「別有用心」？請舉例，並說明理由。

這個題目切入點很好，張先生說數學欣賞就是欣賞數學文化與數學思維的真善美，這個題目就是想把其中的理性思考揭示出來。再有這個題目也抓住了學生的心理，因為經常有學生對於「規定」的內容不理解，解題時經常犯錯誤，甚至有的內容老師們都不理解，這就給數學的理解和解題帶來很大麻煩，甚至還有的學生想自己規定一些內容。

雖然這次只上了一節課，但是已經把大家調動了起來，課後很多學生找到我談自己的見解，都很有見地。

在開設數學欣賞課的同時，數學欣賞已經融入了我的課堂。從文7，文8中既可以看到師生對課程的開發，也可以看到數學欣賞給課堂教學帶來的生機.

5.3 數學欣賞的幾個注意問題

數學欣賞是很有價值的一個平臺，是一線老師一個很好的專業發展方向，這已經引起了很多有識之士的關注。筆者通過切身感受，認為朝著這個方向發展需要有以下幾個方面的儲備：

5.3.1豐富的數學教學經驗和紮實的數學功底；

我是一直抱著數學欣賞必須走進課堂，數學欣賞必須站在高考之上的想法來研究數學欣賞的。

以《簡易邏輯欣賞片段》（文3）為例。剛開始是改寫中數參2010年12期《人人都要講道理》一文，主要是看到這篇文章不夠生動活潑。當時正好剛講完這一章，上課時給學生開了一個「遲到並且來晚」的玩笑，發現這個玩笑與有點相像。在這裡運用邏輯的思想，把學生一直都出現的類似的問題說清了，認識到邏輯的力量很大。再有，絕大多數老師把這部分當做知識點來學習，只熟悉怎麼考，認識深一點的，在解題的時候會運用充要條件來分析問題。但是教材的真正目的，肯定不只是對邏輯現象的總結。基於這樣的想法，我開始研究、改寫。

第一次我結合教學實際把文章寫成「人人都要學點邏輯」。但是這並沒有跳出高考的包圍，也沒有對邏輯知識很好的很全面的理解，甚至發生錯誤理解，張先生的評語是「文字流暢， 可讀性強。但是文中 「複合命題」的否定和命題的否定有根本區別。尤其是文章沒有提到量詞，任意選取一個， 存在一個， 是很遺憾的。簡易邏輯不簡易，作者需要仔細思考。」

我仔細研究張先生的評語，看了很多書，書上對這部分的介紹也很少。我就在整個高中數學的系統下思考，對量詞和充要條件有了初步的認識，為了避免對邏輯知識的介紹，改寫成「簡易邏輯不簡易」，但是對邏輯知識掌握還是不夠準確。這次張先生給我梳理了思路，並且舉了很多例子，幫我開闊思路，還鼓勵我說「修改稿較前有進步， 但是離開「欣賞」還有距離，欣賞時一定要有人文背景，也就是講故事。文章開頭用遲到、晚來，我覺得很好。可是，這違反了簡易邏輯的哪一條？這好像在邏輯上沒有錯，請考慮。簡易邏輯不簡易，全文中的邏輯內涵需要仔細琢磨，認真學習， 不可含糊。

請你開闊思路， 從日常生活中找故事， 再聯繫到數學問題。不要著急， 是一個思考學習過程。切忌把文章寫成邏輯知識介紹。」

結合這次的指導意見，我努力學習一些美學作品和文學作品，大力改造原文，努力突出人文意境。但是這次還是沒有打通數學意境與人文意境的聯繫，只是在數學之外下功夫。

最終張先生的評語是「原文還是很差。鑑於中學老師能夠跳出「高考」桎梏，就很不容易，應予鼓勵。所以我做了大幅度的修改。」

仔細揣摩這句話，我認識到本文的價值，就是跳出了高考的桎梏。從這幾句話中也可以看出張先生對我國的中學數學教育的關切之情，和對年輕教師的關愛之意！我深受感染和鞭策。

我與張先生並不認識，所有交往都是通過《中數參》為媒介。反思與張先生的交往，每次都給我很大啟發，也讓我內心感到很溫暖。通過這幾次交往，我深深認識到，數學欣賞的前提是對數學知識必須有一個真正的認識，融會貫通之後，才能在一定層次上進行欣賞。

5.3.2具備一定的文學功底；

數學是一門公理化的科學，所有命題必需由三段論證的邏輯方法推導出來，但這只是數學的形式，而不是數學的精髓。大部份數學著作枯燥乏味，而有些卻令人嘆為觀止，其中的分別在那裡？

丘成桐先生認為，大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質，氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起著關鍵性的作用。（參見丘成桐《數學與中國文學的比較》）

在我們身邊，絕大多數數學老師不怕做題，說話也很有水平，但是怕寫。因為寫出來的東西總是與自己要表達的意思相差很遠，如果還要有一定的文學性，就更難了。其實，寫東西不是天生的，是練出來的。只要堅持多看，堅持多寫就能寫好。除此之外，還要留心，用心，注意同一件事別人是怎麼遣詞造句的。總之，從模仿開始，不斷練筆，不斷積累。

除了上面所說的幾點之外，我還向語文老師學習。每次寫完文章，第一個讀者就是我們學校的語文老師，當然這個語文老師要認真，有一定水平，最好還年輕，因為年輕的能看懂數學內容。我每次找到他們總是先說，不要看具體內容懂不懂，先看布局謀篇，再看語言表達，然後再看能否看懂具體內容。在文《簡易邏輯片段欣賞》中提到「數學欣賞超越了簡單的理解和求證的過程，是一種融會貫通之後淋漓盡致的快樂甚至幸福.」就是一位語文老師看了本文之後說的話。這句話也道出了我內心深處的真摯感受，也是我研究寫作數學欣賞類文章得到的真情實感。

還有一位語文老師，看了我的文章之後，甚至改變了他的人生方向。他說「我覺得最重要的不只是對裡面的數學知識的掌握，更是對數學學科的認識，乃至對「做學問」的認識。直觀上感覺頭腦受到了某種激發、洗刷。這讓我想到「冰山一角」的理論，看上去是一個個獨立的山峰，其實在深層上它們是一一相連的。一般的人只能認識到這或者那兒是什麼山，高明一點兒的人會告訴你所有山的名字，而您告訴了我那幾座冰山其實是一座，還告訴我通往山頂的路充滿了快樂！」

當然這是他們謙遜的話，恭維的話，真正的是我與他們接觸，學會了很多寫作技巧，有很多數學意境，要經過與他們討教、學習才知道是否合適。

5.3.3最好懂得一定的歷史（包括數學史）

2002年8月20日，丘成桐接受《東方時空》的採訪時說，「我把《史記》當作歌劇來欣賞」，「由於我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數學問題時，常常採用宏觀的觀點，和別人的看法不一樣」。

我也經常告訴我的學生說，歷史使人有高度，數學使人有深度，如果二者結合，那麼你就會天下無敵。我們不需要天下無敵，只要自己看問題有一定高度就好。

我個人非常喜歡歷史，尤其喜歡中國近代史，沒事的時候就喜歡看一些歷史書籍，而且是反覆看，揣摩政治家如何高瞻遠矚、縱橫捭闔，軍事家如何運籌帷幄、決勝千裡。其實很多老師喜歡歷史，可能只看一些歷史故事，缺少聯繫起來看問題，歷史的看問題。我還喜歡數學史，從2003年秋季開始，我每年都要給學生開設數學史選修課，自己查找、整理資料，力求對學生數學學習有一定啟發，對自己教學有用。幾年堅持下來了，有很多收穫。

5.3.4有一些美學常識

羅丹說：世界上並不缺少美，關鍵是缺少發現美的眼睛。那麼，誰能給我們一雙慧眼呢？我認為學一些美學知識，掌握一點美學的分析方法很重要。我剛剛看到張奠宙先生的《欣賞數學的真善美》一文時，我就想什麼是事物的真善美？為什麼張先生要說這個反映了數學的「真」，那個反映了數學的「善」？等等。說什麼也想不通，內心很痛苦。想不通沒關係，先從模仿開始，動手做起來，慢慢積累材料，慢慢篩選。後來一個偶然的機會我看到語文老師桌案上朱光潛的《談美》，愛不釋手，每天有時間就看，很受啟發，還寫了很多學習體會。

中學數學教材曾經飽受批評，枯燥、乏味、理論性強、抽象度高等。目前的課標教材雖然想盡辦法，進行了很大改進，但是仍然有很多的不足。比如，教材中成品太多，發現太少，這在一定程度上失去了「真」．其次，割斷了數學與文學、哲學、藝術等的聯繫，使學生見不到各個學科間的聯繫與相互為用，這在一定程度上失去了「善」．自然地，也體會不到數學的思想，這在一定程度上失去了「美」．把數學的真善美隱藏起來，實際上並不利於學生數學的學習，反而會使學生喪失對理性追求的興趣．

事實上，不僅中學教材飽受批評，中學老師的課堂也有很多詬病，很多人把主要原因歸結到高考上，我認為是不對的，其實應試沒有錯，錯在不能搞應試教育。我們無力改變高考，卻能夠改變我們自己，我們有能力讓我們的課堂變成有生命力的課堂，有真善美的課堂，成為學生數學學習的樂園。

下面一段話是學生對數學欣賞的肯定：

殷老師：在你沒有給我們授課之前，還不曾知道數學是那麼的美妙與神奇，還可以以欣賞的眼睛去學習數學。學數學不僅要學，還要學習她的內涵，她的美，她的用途，現在的自己越發的感到數學真的很美，鍛鍊自己的思維，無論遇到什麼困難都不會退縮！因為最難以捉摸的往往是最美的。

很多學生有類似的看法，所以無論對於教材還是教法，數學欣賞都大有可為！

5.3.5在數學之外尋找靈感

數學欣賞要有靈感。靈感來自哪裡呢？我的經驗告訴我主要來源有兩個：一是來自課堂；二來自現實生活。來自課堂，來自學生，這一點需要老師有欣賞的意識，善於發掘；來自生活，就是要會在數學之外做文章。朱光潛先生說：靈感的培養不必限於讀書。人只要留心，處處都是學問，藝術家往往在他的藝術範圍之外下功夫，在別種藝術之中玩索得一種意象，讓它沉在潛意識裡去醞釀一番，然後再用他本行藝術的媒介把它翻譯出來。

丘成桐也說，文學家為了達到最佳意境的描述，不見得忠實地描寫現象。數學家為了創造美好理論，也不必依隨大自然的規律，只要邏輯推導沒問題，就可以盡情地發揮想像力。

不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境。

老師們也都有很多鮮活的例子（如文7），這裡不在贅述。

6.4數學欣賞對教學的啟發

數學欣賞不僅僅是教會學生學會數學，喜歡數學，也可以培養學生的品質、人格。數學欣賞也是一種意識，一種愛的意識，而且這種愛可以傳遞。下面僅舉一例：

高三複習簡易邏輯，一天我去上課，發現班主任在訓斥學生，我看到學生們面有不悅，怕影響學生情緒。以前遇到這種情況總是安慰學生幾句，說幾句「老師都是為了你，大家要努力」等等，這樣不疼不癢的話根本不起作用，還可能勾起更多不好的回憶。

我靈機一動說，請大家拿出練習紙，把這道題做一下：寫出下列命題的逆否命題「如果你恨一個人，就不要告訴他錯在哪裡。」學生們都笑了，於是整節課非常順利的完成。當時正值教師節來臨，有一位學生贈給我一本波利亞的《怎樣解題》，扉頁上寫著如下一段話：您是我見過的最有個性的老師。一年以來，我們不僅學到了知識，更多的是一份做事的態度，做人的準則。高中，我們知道了怎樣學數學；高中，我們領略了以數學為主題的文章的魅力；高中，我們提高了學習的能力，能動性和自主性。您的一言一行都是我們成長道路上最珍貴的財富。

學生的認可是對數學欣賞的最大鼓勵，讓我們一起加油吧！

參考文獻[U1]

1.張奠宙，柴俊 欣賞數學的真善美，中學數學教學參考「J」，2010,1-2，

2.殷玉波 欣賞橢圓，中學數學教學參考「J」，2011,1-2,8-10

3.殷玉波 簡易邏輯片段欣賞「J」，中學數學教學參考，2011,10，6-8

4.朱光潛 談 美「M」金城出版社，2006-9-1，

5.丘成桐 數學與中國文學的比較「J」網絡

6.張景中 走進教育數學系列叢書總序「M」科學出版社北京2011,1，1-11

7.殷玉波 指數函數引入片段欣賞，中學數學教學參考「J」，2013,3，57

8.殷玉波 繪聲繪色繪數學，數學通訊「J」，2012,5，63-66

9.黃秦安，劉卓達，聶曉穎 論數學欣賞的「含義」、「對象」與「功能」——數學教育中的數學欣賞問題 數學學報「J」，2013，1，8-12

【來源】文衛星數學生態課堂。