史上最後一位數學全才——龐加萊
2021-01-15 高數網按：來自網絡，原作者不詳。
談起龐加萊，大部分數學家都會馬上想起一個著名的評價：龐加萊是最後一個數學全才，即指其為最後一個在數學所有分支領域都造詣深厚的數學家。同樣著名的還有龐加萊本人的一句名言：數學家是天生的，而不是造就的。在龐加萊之前，最近一個被稱為數學全才的數學家是高斯(Gauss)。
除了是一名數學家之外，龐加萊還是一位影響深遠的物理學家，受惠於他的後人中包括當時正致力於完善狹義相對論的愛因斯坦。
所向披靡的「數學怪獸」
1854年4月29日，亨利·龐加萊出生於法國南錫一個學者家庭中。龐加萊家族在法國擁有極高聲望，亨利·龐加萊的父親和姐夫都是南錫大學的教授，而其表兄弟雷蒙·龐加萊更是法蘭西學院院士，並於1913—1920年出任法國總統。
因為視力極差，所以龐加萊在音樂和體育課上表現一般，除此之外，龐加萊在各方面都稱得上是成績優異。龐加萊的數學才華在上大學之前已經顯現出來。他的數學教師形容他是一隻「數學怪獸」，這隻怪獸席捲了包括法國高中學科競賽第一名在內的幾乎所有榮譽。
1873年，龐加萊進入巴黎綜合理工大學(école Polytechnique)，在那裡他得以從事他擅長的數學，師從著名數學家查爾斯·厄米特，並發表了他第一篇學術論文。後來龐加萊繼續跟隨厄米特攻讀博士學位，他於1879年獲得巴黎大學博士學位，1887年入選法國科學院，後任院長，並於1906年被選為法蘭西學院院士，這是法國學者的最高榮譽。1875年前後，龐加萊從理工大學畢業，進入南錫礦業大學繼續學習數學和採礦。畢業後，他加入了法國礦業集團(CorpsdesMines)成為法國東北部礦產區的一名巡視員，與此同時，龐加萊繼續在厄米特的指導下從事研究。在他一生的大部分時間裡，龐加萊都不曾放棄他的工程事業，他在1881至1885年間負責北方鐵路的建設工作，數年後成為法國礦業集團的總工程師，最後在總監的位置上退休。
三體問題，一鳴驚人
1885年，在剛創刊不久的瑞典數學雜誌ActaMathematica的第七卷上出現了一則引人注目的通告：為了慶祝瑞典和挪威國王奧斯卡二世在1889年的六十歲生日，ActaMathematica將舉辦一次數學問題比賽，懸賞2500克朗和一塊金牌。比賽的題目有四個，其中第一個就是找到多體問題的所有解。這是天體物理學中三體問題的一個推廣。而龐加萊在讀博士期間就已經開始研究太陽系中的多體問題。
但龐加萊最終卻沒有成功給出一個完整的解答，因為他發現這個系統的演變經常是混沌的，「混沌」是說如果初始狀態有一個小的擾動，例如一個體的初始位置有一個小的偏移，則後來的狀態可能會有極大的不同。也就是說，如果該小變動不能被我們的測量儀器所探測，則我們不能預測最終狀態為何。他的工作令評委印象深刻，因此還是在1888年贏得了獎金，時年34歲。
這是龐加萊學術生涯中第一個重要的獎項，1888年五月龐加萊在比賽截止日期前交上了他的論文，六個月後他就被宣布為獲勝者。評委維爾斯特拉斯很有預見地指出這篇論文將開創天體力學歷史上的一個新紀元。
數學、物理界的「十項全能」
從1881年開始直到其去世，龐加萊都在巴黎索邦大學任教，他曾教授過的課程包括物理、實驗力學、數學物理、概率論、天體力學和天文學。一個有趣的小插曲足以證明龐加萊在當時的地位：當軍政部長下令砍掉「沒用的天文學」課程時，龐加萊說「我來教這門課」，官員們就只好閉嘴了，因為誰也不敢阻攔龐加萊開設任何科學課程。
龐加萊的一生中在數學和物理的各個領域都有建樹，其中以其本人命名的科學發現就有龐加萊球面、龐加萊映射、龐加萊引理等。曾有人說：把一個微分幾何學家和廣義相對論學家從睡夢中搖醒，問他什麼是龐加萊引理。假如答不出來，那他一定是假的。
當然，最重要的還是最近引起轟動的龐加萊猜想。
值得指出的是，以龐加萊命名的發現在其去世後仍然沒有停止：月亮上的一個火山口和一顆小行星都以他的名字命名。
在三體問題之後，1893年龐加萊參加了法國經度局，參與了把全世界的時間同步的活動。在1897年，他支持了一個沒有成功的把弧度測量十進位化進而把時間和經度十進位化的建議。這項工作導致他考慮高速移動的鐘如何互相同步的問題。1898年龐加萊闡述了相對論基本原理，根據這個原理，沒有機械或電磁試驗可以區分勻速運動的狀態和靜止的狀態。和荷蘭物理學家洛倫茲的合作中，他把時間的物理推向極限來解釋快速運動的電子的行為。這項工作最終由愛因斯坦完成。
「暗戰」愛因斯坦
在愛因斯坦之前，物理學家洛倫茲和數學家龐加萊都已經在這個方向上作了大量的工作，但龐加萊似乎無法接受愛因斯坦的狹義相對論，雖然兩個人的結果是幾乎一樣的。因此龐加萊雖然一輩子作了不少關於相對論的演講，但是他從來就沒提起過愛因斯坦與相對論這兩個詞。愛因斯坦不僅不引用龐加萊的工作，並宣稱從未讀過。當愛因斯坦的母校ETH(蘇黎世理工學院)要聘請愛因斯坦當教授時，龐加萊寫了一封信，大大地誇獎了愛因斯坦一番，最後一段話非常微妙：「我不認為他的預言都能被將來驗證，他從事的方向那麼多，因此我們應該會想到，他的某些研究會走向死胡同。但在同時，我們有希望認為他走的某一個方向會獲得成功，而某一個成功，就足夠了。」
龐加萊於1912年去世，有個數學界的組織者給愛因斯坦去了一封信，說要出個紀念文集來紀念龐加萊，愛因斯坦拖了四個月才回信說，由於路上的耽擱，信剛剛收到，估計已經晚了，偏偏這位組織者不死心，說晚了也沒關係，你寫了就行。於是愛因斯坦又過了兩個半月回信說，由於事務繁忙，實在沒力氣寫了，然後不了了之。
但愛因斯坦最終在1921年的講演中公正地肯定了龐加萊對相對論的貢獻。愛因斯坦評價龐加萊為相對論先驅之一，他這麼說：洛倫茲已經認出了以他命名的變換對於麥克斯韋方程組的分析是基本的，而龐加萊進一步深化了這個遠見……
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