本題來自 Cambridge Internation AS & A Level Further Mathematics: Further Mechanics (劍橋 A Level 高數力學) 16C 課後習題第 3 題。
A Particle,
(a). Find the extension in the spring.
(b). The particle is pulled down a further
中文版
質量為
(a). 求物體 P 靜止時彈簧的伸長量。
(b). 將 P 從平衡位置向下拉
注1. 英文題中使用了 natural length 和 modulus of elasticity，中文版使用了勁度係數，並做了相應的替換，有
1. 第一問首先畫出示意圖，如下所示。
當物體 P 處於平衡狀態時，彈簧施加向上的拉力和物體的重力平衡，可以列出方程
其中
2. 第二問第二問中，將彈簧從平衡位置繼續拉下
由於再次下拉
由於速度和加速度方向相同，物體在向上做加速運動，在平衡位置合力為 0，此時向上運動的速度達到最大。
到達平衡位置後，彈簧的拉力小於重力，此時合力方向向下，加速度向下，此時物體仍有向上的速度，速度會不斷減小，直至為0。
物體運動到最高點，速度為 0，此時加速度最大。
2.1 方法一 —— 能量守恆上面的分析可知，在物體運動過程中，由於加速度在不斷發生變化，因此很難使用運動學求解，可以使用能量守恆來解決這個題：
在最低點，物體具有彈性勢能，無動能和重力勢能(假設最低點為零勢能面)。
伸長量
當釋放並運動到最高點時，物體具有彈性勢能和重力勢能，無動能 (速度為 0)。
這裡
由於兩個狀態下能量守恆，
2.2 方法二 —— 微積分在 Mechanics 中可以使用微積分的方法求解。
取向上為
在
列出牛頓運動定律，寫出加速度
這裡彈簧的伸長量為
考慮到加速度
但等式左邊含有
代入上式有：
整理可得：
積分得到
代入初始條件，當
當
此時距離天花板
2.3 方法二討論由於釋放瞬間物體的速度為0，到達最高點速度也為 0，求出的
注意:
在
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