牛頓到底有多牛？看他如何想到引力的平方反比定律，你就知道了

艾薩克·牛頓，一個任何人都耳熟能詳的人物，他的大名是如此的如雷貫耳，他是大部分人上學時認識到的第一位物理學家、數學家，他是人類歷史上少有的天才級人物。

牛頓本人正如他的名字一樣，真的很牛！他是人類歷史上第一位將科學和神學分家的人，他憑藉一己之力，通過總結前人的經驗，憑藉自己猶如神助一般的思維見解，以及高超的數學能力，開創了經典物理學。

其中最為偉大的發現就是我們熟知的萬有引力，萬有引力的發現不僅為克卜勒的三大定律提供了理論依據，還解釋了人們日常生活中看到的所有物體自由下落的現象，以及行星繞太陽運行的本質。

萬有引力的數學公式看起來相當的簡潔，但其中有兩個相當關鍵的部分：萬有引力的大小和兩個物體的質量成正比，而與兩個物體之間距離的平方成反比。

第一部分我們還能夠理解，但第二部分F∝1/r，這個關係現在看來依然讓我們感到困惑，為什麼引力會和質量物體距離的平方成反比呢？牛頓當時是怎麼知道這種數學關係的？

今天我們就說下平方反比的來歷，通過這件事，我們就能充分的認識到牛頓在當時的驚人見解。

在說牛頓之前我們不得不提一下伽利略和笛卡爾，這兩位歷史上比較有名的物理學家。因為牛頓本人都說了，他的成就是站在巨人的肩膀上完成的。

伽利略本人除了是一位偉大的天文學家以外，還是實驗物理學的開山鼻祖，在伽利略之前，人們認為力是維持物體運動的根本，這個觀點來自亞里斯多德。

說的意思是，物體運動是因為他受到了一個持續的力，如果撤掉這個力，物體就會靜止。但伽利略認為力不是物體運動的根本，是改變物理運動速度的原因。

其實伽利略已經把牛頓第二定律差不多說出來了。（F=ma）

再一個就是笛卡爾，在克卜勒提出行星運動三大定律以後，很明顯亞里斯多德之前提出的物理規律已經不適合新的時代要求了。

（亞里斯多德認為在地球上重物下降、輕物上升，在地球之外的天上和地球不遵循同樣的物理規律，天上是由以太組成的，各大行星在各自的天球上繞著地球旋轉，在行星的天球之外是恆星天球，然後是由上帝主管的原動力天，原動力天為行星的運動提供原動力）

因此為了適應新的太陽系模型（日心說）以及行星的橢圓軌道，就急需提出一套新的物理學，來為此模型作為理論基礎。

笛卡爾當時想開創新的物理學，想完成牛頓的工作，但他最終還是沒有成為牛頓這樣的人。

不過笛卡爾還是提出了一些驚人的見解，為牛頓後來的工作鋪平了道路。

首先笛卡爾認為宇宙中除了物質就是運動，再沒有其他任何事物了。

這個思想相當的關鍵，意思就是說，地球和天上沒有區別，都遵循著同樣的物理規律。舉個例子就是：在笛卡爾看來蘋果和月球沒有任何區別。

徹底否定了亞里斯多德幾千年來認為的，天地之別的概念。這個思想啟發了牛頓，敢把月球繞地球的運動，和蘋果在地面的下落聯繫起來進行研究。

其次笛卡爾認為，物體在沒有受到外力的情況下，會保持自己原有的狀態（靜止或者勻速直線運動），而且數量守恆。

這個思想也啟發了牛頓提出了第一定律，也就是慣性定律。

有了以上前人的成就，牛頓作為人類幾百年難得一見的天才，能夠開創新的物理學就顯得理所當然了。

我們常聽說牛頓的萬有引力來自於他在家躲避瘟疫的時候，看見自家後院下落的蘋果想到的，其實並不是這樣的，牛頓躲避瘟疫的時間是1665年，而萬有引力出來的時間是1687年，這中間經歷了23年。

足以見得萬有引力並不是牛頓一時間的靈光乍現，而是幾十年的辛苦成果，因此一顆蘋果不足以讓牛頓發現萬有引力。

但這顆下落的蘋果足以讓牛頓思考，蘋果本身是受到了一個看不見摸不著的力，不然蘋果應該保持靜止，而不會下落。（這一點可以從笛卡爾早就提出的慣性定律得出）

其實在當時很多人都認識到了這一點（蘋果應該是受到了力才會下落，但他們不敢相信），但只有牛頓敢於相信，蘋果受到了一種看不見的、魔法般的、超距作用力。

說真的，就算亞里斯多德復活，他也不敢相信世間竟然有如此神奇的魔法之力，那麼牛頓為何就願意相信呢？

因為在牛頓的心裡一直住著一位萬能的上帝，一位有著自由意志的上帝，牛頓本人一生都痴迷著鍊金術，他相信世間存在魔法，相信超自然現象，有人甚至認為牛頓除了是一位科學家以外，他還是人類歷史上最後一位魔法師。

這樣的牛頓相信兩個物體之間有超距作用力，就顯得合乎情理了。

而牛頓研究這個超距作用力並不是從蘋果入手的，而是繞地球旋轉的月球，根據笛卡爾的見解，牛頓本人產生了這樣在當時十分超前的想法：

讓蘋果下落的力和使得月球繞地球旋轉的力是同一個力。

不可否認，這是牛頓靈光乍現的時刻。

而且牛頓為了驗證他這個想法， 還做了一個驚人的思想實驗。就是牛頓大炮。

想像在一座高山上架一門大炮，就像上圖那樣，現在大炮向前發射炮彈，排除空氣阻力以及神乎其神的引力外，這個炮彈的路徑就是A，直線勻速飛行，並且徹底的遠離地球，不會落到地面上。

但是牛頓想，地球上有神奇的引力，那麼炮彈的路徑就會變成B或者是C，落點的遠近取決於炮彈的初始速度。

那麼當炮彈的速度達到一定的值，那麼炮彈的下落的速率就會等於地面彎曲的速率，這時炮彈就不能落到地面上了，它的路徑就是D。

這時的炮彈其實是一直往地面落，但是總是會錯過地面，因為地面是彎曲有一定曲率的。那麼同樣的，月球繞著地球轉，也是同樣的道理，月球一直在受到地球的引力，往地面落。但是一直在錯過地面。

這個想法簡直神了，不僅讓牛頓知道了平方反比定律，而且這也是現代人類發射火箭的原理。沒有一個聰明絕頂的大腦，是根本想不到這個思想實驗的。

那麼牛頓是如何證明平方反比定律的？

上圖就是月球繞地球運動的軌道，月球的軌道速度為V，如果月球沒有受到地球的引力，那麼它的路徑就是AB，在任何時間內AB的距離都等於VΔt。

但是月球會受到地球的引力，那麼在Δt的時間內月球都會落向地球，而下落的距離就是CB。

三角形EAB是一個直角三角形，那麼通過勾股定理就能得出：

其中EC和EA是相等的，可以抵消掉，然後給式子的兩邊我們再除一個2EC，得：

上個式子中的CB，這個值的大小會隨著Δt的變小而變小，而CB²會比CB變小的更快，也更快的趨近於0，因此我們可以忽略掉上式中的CB²，得出：

上式中的AB等於VΔt，EC其實就是月球的軌道半徑，因此：

牛頓當時也知道自由落體公式，他能輕而易舉的寫出一個物體在Δt的時間內下落的距離：

上個式子中的a就是自由落體的加速度，因此在根據式子（4），我們就能寫出月球自由落體的加速度為：a =v²/ R。還可以寫成：

上式中的ω是角速度，ω還可以寫成：

上式中的C是月球軌道的周長等於VT（T月球的軌道周期），所以ω=2π/ T。

在牛頓當時已經知道了月球的軌道周期，以及月球的軌道半徑，所以把這些數字帶到式子（7）和（6）中就能得出月球的a＝ 0.274cm / s²。

很明顯，月球在距地地球R的位置上所受到的重力加速度小於地球表面處的重力加速度（g = 981 cm /s²）；

這表明當遠離地球的時候，引力就會減小，但是它們之間的關係是什麼呢？

對於地球表面來說，蘋果與地球的距離就是地球的半徑Rₑ = 6371 km，而月球與地球的距離為R =384400公裡。

牛頓注意到g / a和R / Rₑ之比分別為3580和60.33。

兩者之間的關係大約是：

牛頓得出這個數學關係的過程並不是特別的複雜，主要的是他的思想在當時無人能及。

也可以說，牛頓當時敢這樣去想、去算，完全是因為自己鍊金術士的身份。他相信宇宙中存在魔法般的超距作用力。

通過對月球軌道的計算，讓牛頓更加堅信了自己的想法沒有錯。萬有引力是真實存在的，而且可以寫成F=GmM/r^2。

並且在1687年發表了人類歷史上最偉大的巨著《原理》，為人類撥開迷霧，迎來科學的光明。