一分鐘數學——柯西不等式之番外篇

2021-01-21 無憂公主的數學時間


1.  二維柯西不等式


我先來介紹一下柯西不等式的二維形式吧：( a^2+b^2 ) ( c^2+d^2 ) ≥ ( ac + bd ) ^ 2，其實也不難證明。左邊 - 右邊 = ( a^2·c^2 + a^2·d^2 + b^2·c^2 + b^2·d^2 ) - ( a^2·c^2 + b^2·d^2 + 2abcd ) = a^2·d^2 - 2abcd + b^2·c^2 = ( ad - bc ) ^ 2。因為 ( ad - bc ) ^ 2 是完全平方數，所以必然非負，即 左邊 ≥ 右邊，得證。

2. 番外篇……


二維柯西不等式有什麼用途嗎？我們來考慮一個問題，如果 ax + by = 1，求 √( x^2 + y^2 ) 的最小值。

法 1：其實求的是 x^2+y^2 的最小值，利用二維柯西不等式可以得到：( a^2+b^2 ) · ( x^2+y^2 ) ≥ ( ax + by ) ^ 2 = 1。a^2 + b^2 是定值，因此 x^2+y^2 的最小值為 1/ ( a^2+b^2 )，√( x^2 + y^2 ) 的最小值為 1/ √( a^2+b^2 )。



法 2：我們可以把 ax+by = 1 用平面直角坐標系中的一條直線表示出來，如上圖所示。√ ( x^2 + y^2 ) 就相當於 (x,y) 到原點的距離，在這條直線上距離原點最近的點，顯然是下圖中的垂足 H 了。因此 OH = AO × BO / AB = 1/b × 1/a  / √( 1/a^2 + 1/b^2 ) = 1/ √( a^2+b^2 )，答案與法 1 是相同的。



利用本次介紹的 「 番外篇 」 以及 兩角和差的三角函數公式，大家可以思考一下 燒腦幾何題 142 如何解決哦！


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