三角不等式

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（0）最近幾個月講了很多不等式的知識。什麼柯西-施瓦爾茲不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式、楊格不等式、赫爾德不等式、閔可夫斯基不等式、內斯比特不等式、外森比克不等式、費恩斯列爾-哈德維格爾不等式、卡爾松不等式，還講了一些具體但很奇特的不等式。很豐富！但仍然還有很多不等式沒有講到。今天來講一講三角不等式，這是很基本的不等式。因為它的簡單，反而以前忽視了。今天就借著一個具體題目把三角不等式介紹一下。

（1）設三角形的三條邊長度分別為a,b,c，則

a＋b>c， b＋c>a， c＋a>b，······①

即三角形兩邊之和大於第三邊。其實，a，b，c三個長度中，肯定有一個最大的（當然其他兩個當中也有可能有一個甚至兩個也與它相等），不妨設這個最大的為a。那麼①式中的第一和第三個不等式肯定成立。所以，①式也說等價於第二個成立。可以打個簡單直觀的比喻：有一個「三節棍」，若它的兩端怎麼挨都挨不上，或者是將將挨得上，則它的三個「節」構不成一個三角形。三角不等式很簡單，很容易理解。

（2）把上面的不等式變形為

a > c－b， b > a－c， c > b－a 。

以上式第一個不等式為例。因為有可能c>b，也有可能c<b，所以，上式第一個不等式可以統一寫為絕對值不等式a>|c－b|或a>|b－c|。同理有另外兩個類似的絕對值不等式，所以我們就得到三角不等式(1)的第一個等價形式：

a>|b－c|，b>|c－a| ，c>|a－b|。······②

同樣可以用「三節棍」做比喻。把「三節棍」中間一節和邊上某一節緊靠在一起，那麼兩者的長度差就很明顯。於是，若第三節比這個差值小或相等，則三節棍不可能構成三角形。只有在第三節大於前兩節的差的絕對值時，才能夠構成三角形。若用數學語言表示，設第一、二節的長度分別為a與b，第三節的長度為c，則c>|a－b|。

（3）三角不等式的第二個等價形是：

（a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)>0。······③

從①到③是顯然的。下面證從③到①。③式左側三個因子要麼都為正，則①成立；要麼一正兩負，不妨假設第一個為正而後兩個為負，後兩個為負就是b＋c－a<0和c＋a－b<0，把這兩個不等式相加得：2c<0，但這是不可能的。所以，我們便證得了③式與①式等價。

（4）下面是第三個等價形式：可以找到三個正數x,y,z，使得

a=y+z，b=z+x，c=x+y。······④

先證從到①到④成立。畫一個三角形，其三邊長度分別為a,b,c。作其內切圓，內切圓圓心為I，三個切點分別為D、E、F。三個頂點A、B、C到三個切點的距離分別為x、y、z。如下圖所示。

所以④式就是顯然的了：

a=y+z，b=z+x，c=x+y。······④

反之，若存在三個正數x、y、z，使得④式成立，那麼把其中前兩個等式相加，便得到

a+b=y+z+z+x=x+y+2z>x+y=c，

即a+b>c。類似地可證b＋c>a， c＋a>b。所以①式成立。

以上我們就給出了三角不等式及它的三個等價形式。

下面舉個應用三角不等式的例子。

一個水平桌面上擺放著80個鐘錶，它們都指示著相同的時間（可以是完全不同的鐘表，但一定是要有指針的鐘表；可以平放，可以立放，也可以倒放甚至扣著放，即怎麼擺放都可以）。證明一定存在某一時刻，在這一時刻，所有鐘錶分針末端到桌面中心的距離之和大於所有鐘錶表心到桌面中心距離之和。

證明：設桌面中心為O。對第i個鐘錶來說，設它的分針末端為Ai，表的中心為Mi。再設Ai關於Mi的對稱點為Bi。那麼，以線段OAi和線段OBi為相鄰兩邊可以構造一個平行四邊形AiOBiCi，如上圖所示。而OMi為這個平行四邊形過點O的對角線OCi的一半。我們高中學習向量知識時學過向量相加的平行四邊形法則和三角形法則，其實兩者是一致的——把起點重合的兩個向量中的一個平移到它的對邊，這樣兩個向量就成為「首尾相連」的。從而平行四邊形法則就轉化為三角形法則。於是，在這裡，考慮三角形OAiCi。由前面介紹過的三角不等式，便得到OAi+OBi>2OMi。上式對任意一個鐘錶都是成立的，也就是說對i=1,2,3,···,80，不等式都成立。把這80個不等式相加，得到：

左側兩項中，總會有一項大於右側的一半。左側第一項就是題目中「所有鐘錶分針末端到桌面中心的距離之和」。又因為所有鐘錶指示的都是相同的時間，所以，所有鐘錶分針末端都會在某一時刻同時走到Bi點。這就說明上面不等式左側第二項也是「所有鐘錶分針末端到桌面中心的距離之和」。而上面不等式右側的一半正是「所有鐘錶表心到桌面中心距離之和」。從而不管兩項中哪一項大於右側的一半，我們都證明了本題的正確性。

問題中「80個」鐘錶是隨便取的，50個也行，1000個也行。