排序不等式→算術-幾何平均不等式

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幾期之前講過排序不等式，很多著名不等式都可以從它推導出來。今天介紹如何從排序不等式推導出著名的也是最常用的不等式——「算術-幾何平均不等式」。

這裡所說的「算術-幾何平均不等式」，顧名思義，就是有關算術平均值與幾何平均值之間關係的不等。具體來說就是：n個正數的算術平均值大於等於它們的幾何平均值。用公式表示就是：

若用A表示算術平均值，G表示幾何平均值(後面要用到G這個符號)，則

(它的兩個元素的情況我們非常熟悉。) 既然打算從排序不等式出發來證明這個「算術-幾何平均不等式」，那麼就需要先把排序不等式放在這裡。

另有一數組(c1, c2,  ... , cn)，它是數組(b1, b2, ... , bn)的任一排列。則

為了利用上面的排序不等式，我們巧妙地構造兩個數組：

因為兩個數組對應元素互為倒數，所以，對應項乘積之和就相當於排序不等式中所說的「逆序」，所以它一定達到最小值。而非對應項乘積之和，就相對大一些。從而有：

從而，

即

所以，最終我們證明了「算術-幾何平均不等式」——算術平均值大於等於幾何平均值。若且唯若n個元素相等時，等號成立。

關於兩個正數的各種平均值（算術平均值、幾何平均值、調和平均值、希羅平均值、平方平均值），有著豐富的幾何解釋，可以閱讀本公眾號以前的文章（點下文標題可以跳轉）：

《有關平均值，有些事情您可能不知道》

下期講切比雪夫不等式。