一分鐘數學 —— 幾何平均<=算術平均

2021-03-02 無憂公主的數學時間

如果有兩個數 a 和 b，我們都知道它們的算數平均，就是 (a+b) / 2。那麼幾何平均是什麼意思呢？其實，幾何平均的定義是這兩個數的乘積再開根號。顧名思義，從幾何的角度看會更簡單些。以a和b為邊長的長方形，與其面積相等的正方形的邊長，就稱為這兩個數的幾何平均，也就是✓(a×b)啦。

有一個很有趣的結論，叫做兩個正數的幾何平均值，一定小於等於他們的算術平均值。用以下算式表示：


據說，這在不等式家族中具有非常重要的地位哦，而且也很基礎。

那麼，這個不等式如何證明呢？下面給大家介紹一個 「 無字證明 」 的方法。我覺得，所謂的無字證明，並不是真的一個字沒有，而是用一個簡單的圖形，就可以直接表達出來的意思吧。下圖就是全部的證明，如果還沒有看懂，可以看看我下面的解釋。

無字證明完全利用到幾何中圓的巧妙之處，相當不容易想到。如上圖所示，一個圓的圓心為 O，直徑 CD 上任取一點 P，設 CP = a，DP = b。再過 P 點作 CD 的垂線(T圖中未標出直角∟啦），交圓邊於 A 和 B。根據相交弦定理，AP × PB = CP × DP = a × b。而由於 AB ⊥ CD，CD 又是直徑，∴ AP = PB（只要證明▵ACP ≌ ▵BCP 即可，並請自行連接相應邊），那麼 AP = ✓(a×b)。接下來考慮任意點 P 的因素，P 在 CD 上移動，相應的 AP 也在變化。但 AP 最大也只能是半徑 (a+b) / 2，也就是和 CD 垂直的那條半徑。所以說，AP 一定不超過半徑，即 ✓(a×b) <= (a+b) / 2，得證。


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