作者：Erica Klarreich，《量子》雜誌記者
翻譯，Erica，哆嗒數學網翻譯組成員。
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在28歲的時候，彼得·舒爾茨(Peter Scholze)就已經在揭開數論與幾何之間深刻聯繫的神秘面紗。
在2010年，一個令人震驚的傳聞在數論界傳開並傳到了韋恩斯坦(Jared Weinstein)的耳中。傳言，德國波恩大學的某個研究生發表了一篇論文，僅用了37頁就重寫了「Harris-Taylor」，這個高深莫測的定理本來用了228頁的一本小書的篇幅來證明的。然而，這個22歲的研究生發現了一種法涉及到數論和幾何之間的廣泛聯繫方法，迴避了證明中最複雜部分。
「一個這麼年輕的人做出了如此革命性的成果，這實在是太驚豔了，」 波士頓大學34歲的數論學家韋恩斯坦如是說。「這實在是讓人敬佩。」
波恩大學的數學家們早已意識到他超凡的數學思維，他們也在僅僅兩年後就任命舒爾茨為正式的教授。在他發表了這篇關於Harris-Taylor的論文後，整個數論和幾何領域的專家們也開始注意到了舒爾茨.
在舒爾茨28歲的時，他開始在更廣闊的數學界嶄露頭角。他獲得的諸多獎項的頒獎詞中稱他「已經是當世最具有影響力的數學家之一」，並且是「一個幾十年一遇的罕見天才」。他還被認為是數學界最高榮譽菲爾茲獎的大熱門。
一類被他稱之為「狀似完備空間(perfectoid space)」的「分形」結構，作為舒爾茨的關鍵革新雖然問世才幾年，但是它已經在算術幾何，一個數論和幾何的交叉領域，產生了深遠的影響。Weinstein認為，舒爾茨的工作具有一種預判的功能，「他甚至能在工作還沒開始之前，就能看清它的後續步驟是什麼」。
許多數學工作者對於舒爾茨的反應是「一種威望、恐怖和激動的結合體」，和舒爾茨共同撰寫了多篇論文的密西根大學的數學家巴特(Bhargav Bhatt)這樣評價。
這種反應的產生並不是因為他的個性，恰恰相反他的同事們一致描述他是平易近人的。舒爾茨在波恩大學的同事赫爾曼(Eugen Hellmann)說：「他從來不會讓你覺得他是如何高高在上的。」
實際上，這是因為他那令人難以置信的深入研究數學現象本質的能力。不同於多數數學家，他通常不是從一個想解決的特定問題入手，而是從他自己想要明白的一些難以理解的概念開始。但那之後，他所創造的那些結構「在成千上萬個其他方向上都有從未被預見到的應用，只是因為它們正是應該去考慮的正確對象」，與舒爾茨合作過的普林斯頓大學數論學家卡拉亞尼(Ana Caraiani)這樣說。
學習算術
在他14歲的時候，舒爾茨開始自學大學數學，當時他就讀於海因裡希·赫茲中學，這是柏林的一所專精於數學和科學的精英高中。舒爾茨說，在這所高中，「只要你對數學感興趣，你就不會無法融入其中」。
在16歲時舒爾茨了解到在十年前懷爾斯(Andrew Wiles)證明了最著名的17世紀數學難題，也就是費馬大定理。這個定理說明，如果n大於2,那麼方程x^n+y^n = z^n不存在全部非零的正整數解。舒爾茨如饑似渴地想要學習它的證明，但他迅速發現儘管問題描述起來很簡單，解決它需要用到一些最前沿的數學。他說：「我當時什麼都不懂，但它實在是令我著迷。」
因此舒爾茨退而尋求他需要學習什麼才能理解費馬大定理的證明。「直到現在，這仍然很大程度上是我學習的方式，」他說，「實際上我從未真正學習過線性代數之類的基礎知識，我只是在學習其他東西的時候將它搞懂了。」
當舒爾茨鑽研這個證明時，他被證明涉及的數學對象所吸引：被稱為模形式和橢圓曲線的結構， 這些結構神奇地統一了數論、代數、幾何和分析這些不同的領域。他表示閱讀涉及的這些對象的理論比問題本身更加有趣。
舒爾茨的數學品味逐漸成型。如今，他仍然被那些求解簡單方程整數解的問題所吸引。這些具體的整數解讓更加深奧的數學結構在他面前都變得具體。「說到底，我對算術感興趣。」他說如果發現當他抽象的構造能帶來關於整數的一些小發現時，他會感到無法言語的開心。
在高中之後，舒爾茨在波恩大學繼續追求著他對數論和幾何的這種興趣。他的同學赫爾曼回憶到，舒爾茨在他的數學課上從來不記筆記。舒爾茨可以迅速理解課程的材料，「不僅僅是表層的理解，而且是某種意義上很深度的真正理解，這樣他也不會遺忘。」
舒爾茨開始了在算術幾何領域的科研生涯，這個領域使用幾何工具來研究多項式方程的整數解,例如xy²+3y=5這種方程的整數解。對於這種類型的一些方程，研究它們在被稱為p進數(p-adic number)的數域中的解有著豐碩成果。p進數和實數一樣是通過填補整數和有理數之間的間隙構造的（通常稱其為完備化），但是關於「這些間隙之中什麼樣的數是彼此接近」的的概念和通常理解不同：在p進數當中，兩個數的差是小的並不能說明它們是接近的，實際上只有它們之間的差可以被p整除足夠多次，它們才被認為是接近的。
這是一個奇怪的判斷依據，但它是有用的。以3進數為例，它提供了一種自然的方式去研究形如x²=3y²的方程，因為在其中有著3這樣一個關鍵的因子。
舒爾茨說，p進數「和我們的通常感覺差別很大」。但是這些年來它們對他來說變得很自然。「如今我認為實數比p進數要難以捉摸得多。我和p進數相處得太久了，以至於現在實數對於我來說顯得非常陌生。」
數學家們在1970年代注意到，如果通過構造一個以p進數為底且每一層環繞下面一層p次的無窮的數系的塔來擴張p進數，許多關於p進數的問題會變得更加容易。在這個無窮的塔的「頂部」的數域是一個「分形」的對象，這也是舒爾茨之後發展的狀似完備空間理論的最簡單的例子。
舒爾茨給他自己布置了這樣一個任務：理清為什麼這種無窮環繞的構造能使如此多的有關p進數和多項式的問題變得簡單。「我嘗試理解這種現象的內核，」他說，「但是並沒有能解釋它的一般性理論。」
他最終意識到，給很多種數學結構構造出狀似完備空間是可行的。他證明了這些狀似完備空間能夠將關於多項式的問題從p進數的世界轉移到一個不同的數學世界，在其中算術變得更加簡單（例如，在做加法時不需要進位）。「狀似完備空間最怪異的性質是它們可以在兩個數域間魔術般地移動。」韋恩斯坦說。
這一想法促使舒爾茨部分證明了一個被稱為權重單值性猜想（weight-monodromy conjecture）的複雜問題。2012年，他的博士論文就是這個問題。韋恩斯坦稱，這篇論文「影響深遠，全世界相關專家都會去研究它」。
舒爾茨「準確找到了正確且最簡潔的方法來整合前人的全部工作，對這些工作他給出了一個優雅的刻畫。隨後，就因為他發現的是真真切切的正確框架，他又做出遠超已知結論的成果。」 赫爾曼說。
俯瞰叢林
儘管狀似完備空間的理論極其複雜，但舒爾茨的講座和論文以清晰而聞名。韋恩斯坦稱：「在舒爾茨向我解釋前，我什麼也不理解。」
卡拉亞尼說，每當舒爾茨闡述他的想法，總是想方設法降低難度，試圖讓那些研究生新生水平人能夠理解。「在他的想法中有一種開放和包容的感覺，」她說，「並且他不僅僅和部分資深專家交流想法，實際上一大批的年輕人都有機會與其接觸。」 卡拉亞尼認為舒爾茨友好且平易近人的舉止使得他成為該領域的理想領袖。她提到有一次當她和舒爾茨在與一群數學家進行艱難的「遠足」時，他是那個四處奔跑來確保每個人都能跟上的人。
儘管有了舒爾茨的解釋，狀似完備空間對於其他學者而言仍然是難以駕馭的，赫爾曼說：「如果你離他描繪的道路偏離了一點，那你就會發現自己處於如同叢林中央一般的困境。」但他認為舒爾茨本人「永遠不會在叢林中迷失，因為他從未打算在叢林裡糾纏。他總是在為了某種清晰明了的概念而尋找俯瞰整個叢林的視角。」
舒爾茨通過強迫自己飛過叢林裡的藤蔓來避免被它們所困：就像他大學時一樣，他喜歡不寫下任何東西來工作。那樣他就必須用最清晰的方法來闡明他的想法，他說：「你的大腦只有有限的能力，因此不能在其中做太過複雜的事。」
當其他數學家正開始嘗試理解狀似完備空間時，舒爾茨和他的合作者已經毫不意外的利用它做出最深刻的發現了。在2013年，他在網上貼出的一個結果「著實讓學界震驚」，韋恩斯坦說，「我們都沒有意識到這樣一個定理即將誕生。」
舒爾茨的結果擴大了互反律的適用範圍。互反律用「時鐘的算術」（這個時鐘不一定是12小時制的）來處理多項式的性質。「時鐘的算術」（例如對於有12個小時的時鐘，5+8=1）是數學中最自然且被廣泛研究的有限數系。
互反律是有著200年歷史的二次互反律的推廣，而二次互反律是數論的奠基石，也是舒爾茨本人最喜歡的定理之一。這條定律陳述了給定兩個素數p和q，在大多數情況下，p在有q個小時的時鐘上是一個完全平方數若且唯若q是在有p個小時的時鐘上的完全平方數。例如，因為5 = 16 = 4²，5在有11小時的時鐘上是平方數，而由於11 = 1 = 1²，11在有5小時的時鐘上也是平方數。
「我認為這令人震驚，」舒爾茨說，「從表面看來這兩者似乎毫無關聯。」
「你可以把很多的現代代數數論解釋為是對推廣這一定律的嘗試。」韋恩斯坦說。
20世紀中葉，數學家們發現了互反律和似乎完全不同的主題之間的驚人聯繫：研究諸如 埃舍爾(M.C.Escher)著名的「天使與惡魔」的「雙曲」幾何。這一聯繫是「朗蘭茲綱領」的核心部分，這一綱領是一些揭示數論、幾何與分析之間關係的定理與猜想的合集。如果這些猜想能夠被證明，我們通常能得到具有強大威力的工具。比如費馬大定理的證明能夠被歸結於解決朗蘭茲綱領的一個小部分（看出這個聯繫也很難）。
數學家們逐漸意識到朗蘭茲綱領已經遠遠超出了雙曲圓盤：它也可以在高維的雙曲空間和其他情況下的簇中被研究。如今舒爾茨展示了如何把朗蘭茲綱領延伸到「雙曲三維空間」（一種雙曲圓盤的三維類比）中的很多結構。通過構造一個狀似完備空間版本的雙曲三維空間，舒爾茨發現了一系列全新的互反律。
「舒爾茨的工作完全地改變了我們對能做到的和可能做到的事的看法。」卡拉亞尼說。
韋恩斯坦稱舒爾茨的成果表明朗蘭茲綱領「比我們所想像的還要深刻...它更加系統化，它無所不包」。
極速前進
和舒爾茨討論數學就如同尋求一條「先知的預言」，韋恩斯坦認為。「如果他說：「是，這可以。」那麼你可以對它抱有信心；反之你則應該立刻放棄；如果他說他不知道——他確實也有不知道的時候——那麼你很幸運，因為你手中有了一個有趣的問題。」
卡拉尼亞說，與舒爾茨的合作並不是像預想中一樣壓抑的經歷。當她與舒爾茨合作時，從來沒有一絲緊迫感，她說：「感覺就像我們總是走在正確的路上——用最好的方法證明了我們能得到的最一般性的定理，總是正確地做出了關鍵的構造。」
不過曾有一次，舒爾茨本人確實很有緊迫感——在2013年年底，他需要在他女兒的出生前的短暫時間，去把一篇論文寫完。他說，推動給自己工作是件好事，「在之後，我就沒什麼事情需要完成了。」
舒爾茨說，成為一個父親迫使他在時間管理上更加嚴格。但是他無需擔心科研受到影響——數學填補了他其他家務事之間的空隙。「我想數學是我的激情所在，」他說，「我無時無刻都在思考數學問題」。
但他一點也不傾向於把這種激情浪漫化。當被問起是否有感覺自己註定要成為一個數學家時，他表示反對。「那聽起來太哲學了」，他說。
從私人角度來說，他日漸增長的名氣（例如，三月時他成為德國著名的萊布尼茲獎的最年輕得主，該獎項授予250萬歐元的研究經費）讓他有些許不適。「有時這有些讓我不知所措，」舒爾茨說：「我試圖讓我的日常生活不被它影響。」
舒爾茨繼續探索狀似完備空間，但他也涉足其他有關代數拓撲的數學領域，該領域運用代數來研究幾何。「在過去的一年半中，舒爾茨已經完全成為了這一學科的大師，」巴特稱，「他改變了這一領域的思考方式。」
巴特認為，對於其他數學家們而言，舒爾茨進入他們的領域既是可怕的也是令人激動的。「這代表著該學科正在快速發展。我很欣喜他正在和我的工作緊密相關的領域工作，因此我確實看到了這些前沿知識在不斷向前推進。」
但是對舒爾茨而言，他到目前為止的工作只是熱身。「我仍然處於試圖了解「那裡有什麼」的階段，有一天也許我會用自己的語言來重新描述它們。」他說，「我覺得我並沒有真正地開始研究這一領域。」
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